Orthogonale Projektion

Sei $V$ ein Skalarproduktraum und $S\subseteq V$ ein endlichdimensionaler Unterraum. Zu jedem $f\in V$ gibt es genau einen Vektor $g\in S$ mit

Der Vektor $g$ ist die orthogonale Projektion von $f$ auf $S$ und wird als $g=P_Sf$ geschrieben. Er wird durch zwei Bedingungen charakterisiert:

Äquivalent dazu gilt

\langle f-g,\varphi\rangle=0\qquad\text{für jedes }\varphi\in S

In einem Hilbert-Raum gilt derselbe Satz für jeden abgeschlossenen Unterraum. Ein endlichdimensionaler Unterraum ist automatisch abgeschlossen.

Sei $g=P_Sf$ und $\varphi\in S$ beliebig. Wegen $g-\varphi\in S$ und $f-g\perp S$ liefert der Satz des Pythagoras

Gleichheit gilt nur für $\varphi=g$ . Damit sind sowohl die Optimalität als auch die Eindeutigkeit bewiesen.

Ist $\varphi_1,ldots, arphi_n$ eine orthonormale Basis von $S$ , dann gilt

P_Sf=\sum_{i=1}^n\langle f,\varphi_i\rangle\varphi_i

Die zweite Zeile folgt aus der Zerlegung von $f$ in die senkrechten Komponenten $P_Sf$ und $f-P_Sf$ .

Für eine reelle Matrix $Q\in\mathbb{R}^{m\times n}$ mit orthonormalen Spalten projiziert

Vektoren aus $\mathbb{R}^m$ auf $\operatorname{col}(Q)$ .

Projiziere

auf $S=\operatorname{span}\{u\}$ . Der Projektionskoeffizient ist

\frac{\langle f,u\rangle}{\langle u,u\rangle}=\frac{1\cdot2+3\cdot1}{2^2+1^2}=1

Daher gilt

Projektion von

f

auf

\operatorname{span}\{u\}

Der cyanfarbene Vektor ist

f

, der orangefarbene Vektor ist

g=P_Sf

, und die violette Strecke ist das senkrechte Residuum

r=f-g

Sei $\psi_1,ldots,psi_n$ eine beliebige Basis von $S$ und

Die Orthogonalitätsbedingungen ergeben das Gram-System

\sum_{i=1}^n\langle\psi_i,\psi_k\rangle\alpha_i=\langle f,\psi_k\rangle,\qquad k=1,ldots,n

mit $G_{ki}=\langle\psi_i,psi_k\rangle$ und $c_k=\langle f,psi_k\rangle$ . Da die Basisvektoren linear unabhängig sind, gilt

z^TGz=\left\|\sum_{i=1}^nz_i\psi_i\right\|^2>0\qquad\text{für }z\ne0

Somit ist $G$ symmetrisch positiv definit und die Koeffizienten sind eindeutig.

Sind die Spalten einer Matrix $A$ mit vollem Spaltenrang die Basisvektoren, dann ist

derselbe orthogonale Projektor. Diese Identität ist für die Analyse nützlich. In numerischer Software sind QR oder SVD meist vorzuziehen, weil die Bildung von $A^TA$ die Konditionszahl quadriert.

Projiziere $f(x)=x^2$ auf $S=\operatorname{span}\{1,x\}$ bezüglich

Die Funktionen $1$ und $x$ sind orthogonal. Ihre Koeffizienten lauten

c_0=\frac{\langle x^2,1\rangle}{\langle1,1\rangle}=\frac{2/3}{2}=\frac13

Damit gilt

Der lineare Term verschwindet, weil $x^3$ auf dem symmetrischen Intervall ungerade ist.

Eigenschaft	Bedeutung
$P^2=P$	eine zweite Projektion ändert nichts
$P^T=P$	Bild und Kern stehen senkrecht aufeinander
$\operatorname{range}(P)=S$	jede Ausgabe liegt im Zielunterraum
$\ker(P)=S^\perp$	senkrechte Komponenten werden entfernt

Idempotenz allein genügt nicht: Auch ein schiefer Projektor erfüllt $P^2=P$ , muss aber nicht symmetrisch sein. Die Symmetrie kennzeichnet den euklidischen orthogonalen Projektor.

Orthogonale Projektion

Satz über die beste Approximation

Orthogonale Projektion

Satz über die beste Approximation

Warum Orthogonalität das Minimum liefert

Formel für eine orthonormale Basis

Vektorrechnung als Beispiel

Konstruktion aus einer beliebigen Basis

Beispiel aus einem Funktionenraum

Eigenschaften eines orthogonalen Projektors