Skalarprodukte

Welche Geometrie ein Skalarprodukt hinzufügt

Skalarprodukte

Welche Geometrie ein Skalarprodukt hinzufügt

Ein Vektorraum beschreibt Addition und Skalarmultiplikation. Ein Skalarprodukt fügt Geometrie hinzu: Damit lassen sich Länge, Winkel und Orthogonalität messen. Diese Lesson verwendet die Konvention, dass ein komplexes Skalarprodukt im ersten Argument konjugiert linear und im zweiten Argument linear ist.

Für $x,y,z\in\mathbb{C}^n$ und $\lambda,\mu\in\mathbb{C}$ erfüllt ein Skalarprodukt

\langle \lambda x+\mu y,z\rangle=\overline\lambda\langle x,z\rangle+\overline\mu\langle y,z\rangle

Die konjugierte Symmetrie stellt sicher, dass $\langle x,x\rangle$ reell ist. Über $\mathbb{R}^n$ verschwindet die komplexe Konjugation, sodass das Skalarprodukt symmetrisch und bilinear ist.

Matrixgewichtete Skalarprodukte

Für reelle Vektoren definiert die Formel

\langle x,y\rangle_A=x^TAy

genau dann ein Skalarprodukt, wenn $A$ symmetrisch positiv definit ist. Die Symmetrie von $A$ liefert die Symmetrie der Paarung, und $x^TAx>0$ für jedes $x$ ungleich null liefert die strikte Positivität.

Für komplexe Vektoren lautet die entsprechende Formel

\langle x,y\rangle_A=x^HAy

wobei $A$ hermitesch positiv definit sein muss. Nur zu sagen, dass $A$ positive Einträge oder positive Diagonaleinträge besitzt, genügt nicht.

Mit $A=I$ erhält man die euklidischen Standardskalarprodukte:

\langle x,y\rangle=x^Ty\qquad\text{über }\mathbb{R}^n

Länge, Winkel und Orthogonalität

Jedes Skalarprodukt induziert die Norm

\|x\|_A=\sqrt{\langle x,x\rangle_A}

Die Cauchy-Schwarz-Ungleichung

|\langle x,y\rangle_A|\le\|x\|_A\|y\|_A

stellt sicher, dass der Winkel für reelle Vektoren ungleich null durch

\cos\theta_A=\frac{\langle x,y\rangle_A}{\|x\|_A\|y\|_A}

wohldefiniert ist. Vektoren sind $A$ -orthogonal, wenn $\langle x,y\rangle_A=0$ gilt. Eine Änderung von $A$ ändert die Geometrie. Daher müssen euklidisch senkrechte Vektoren in einer gewichteten Metrik nicht senkrecht sein.

Gerechnetes gewichtetes Beispiel

Sei

A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix},\qquad x=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},\qquad y=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}

Die positiven Eigenwerte bestätigen, dass $A$ symmetrisch positiv definit ist. Obwohl $x^Ty=0$ gilt, ergibt die gewichtete Geometrie

\langle x,y\rangle_A=x^TAy=1

Dieselben Koordinatenvektoren stehen somit in der euklidischen Geometrie senkrecht, bilden in der $A$ -Geometrie aber einen Winkel von $60^\circ$ .

Komplexes Beispiel

Für das Standardskalarprodukt sei

x=\begin{pmatrix}1\\i\end{pmatrix},\qquad y=\begin{pmatrix}i\\1\end{pmatrix}

Dann gilt

\langle x,y\rangle=x^Hy=\begin{pmatrix}1&-i\end{pmatrix}\begin{pmatrix}i\\1\end{pmatrix}=i-i=0

Die Konjugation in $x^H$ ist wesentlich. Mit $x^Ty$ erhielte man nicht das komplexe Standardskalarprodukt, denn $x^Tx$ muss keine nichtnegative reelle Zahl sein.

Projektion in gewichteter Geometrie

Die Projektion von $x$ auf den von $u$ ungleich null aufgespannten eindimensionalen Unterraum lautet

\operatorname{proj}^{A}_{u}(x)=u\frac{\langle u,x\rangle_A}{\langle u,u\rangle_A}

Das Residuum ist $A$ -orthogonal zu $u$ :

\left\langle u,x-\operatorname{proj}^{A}_{u}(x)\right\rangle_A=0

Dasselbe geometrische Prinzip liegt der gewichteten Methode der kleinsten Quadrate zugrunde: Das angepasste Residuum steht bezüglich des gewählten Skalarprodukts senkrecht auf dem Modellraum.

Matrixdarstellung und Gram-Matrizen

In der Standardbasis $e_1,\ldots,e_n$ besitzt jedes endlichdimensionale Skalarprodukt genau eine Darstellungsmatrix mit den Einträgen

a_{ij}=\langle e_i,e_j\rangle

Diese Matrix ist über den reellen Zahlen symmetrisch positiv definit und über den komplexen Zahlen hermitesch positiv definit.

Für Vektoren $v_1,\ldots,v_k$ ist ihre Gram-Matrix durch

G_{ij}=\langle v_i,v_j\rangle_A

gegeben. Sie ist hermitesch positiv semidefinit und genau dann positiv definit, wenn die Vektoren linear unabhängig sind. Gram-Matrizen verwandeln geometrische Fragen nach Winkeln und Unabhängigkeit in Matrixfragen.