Skalarprodukte

Mit Skalarprodukten geometrische Beziehungen beschreiben

Ein Vektorraum besitzt Operationen für Addition und Skalarmultiplikation. Ein Skalarprodukt bestimmt Vektorlängen, Winkel zwischen Vektoren und ob zwei Vektoren orthogonal sind. Für komplexe Vektoren ist das hier verwendete Skalarprodukt $im ersten Argument konjugiert linear$ und im zweiten Argument linear.

Für $x,y,z\in\mathbb{C}^n$ und $\lambda,\mu\in\mathbb{C}$ erfüllt ein Skalarprodukt

\langle \lambda x+\mu y,z\rangle=\overline\lambda\langle x,z\rangle+\overline\mu\langle y,z\rangle

Die konjugierte Symmetrie stellt sicher, dass $\langle x,x\rangle$ reell ist. Über $\mathbb{R}^n$ verschwindet die komplexe $Konjugation$ , sodass das Skalarprodukt symmetrisch und bilinear ist.

Matrixgewichtete Skalarprodukte

Für reelle Vektoren wird ein matrixgewichtetes Skalarprodukt wie folgt definiert:

\langle x,y\rangle_A=x^TAy

Diese Formel definiert genau dann ein Skalarprodukt, wenn $A$ $symmetrisch positiv definit$ ist. Die Symmetrie von $A$ liefert die Symmetrie der Paarung, und $x^TAx>0$ für jedes $x$ ungleich null liefert die strikte Positivität.

Für komplexe Vektoren lautet die entsprechende Formel

\langle x,y\rangle_A=x^HAy

In dieser Formel muss $A$ hermitesch positiv definit sein. Nur zu sagen, dass $A$ positive Einträge oder positive Diagonaleinträge besitzt, genügt nicht.

Mit $A=I$ erhält man die euklidischen Standardskalarprodukte:

\langle x,y\rangle=x^Ty\qquad\text{über }\mathbb{R}^n

Vektorlängen sowie Winkel und Orthogonalität

Jedes Skalarprodukt definiert die folgende Norm:

\|x\|_A=\sqrt{\langle x,x\rangle_A}

Diese Norm erfüllt die Cauchy-Schwarz-Ungleichung:

|\langle x,y\rangle_A|\le\|x\|_A\|y\|_A

Für reelle Vektoren ungleich null stellt diese Ungleichung sicher, dass der Winkel durch die folgende Gleichung definiert werden kann:

\cos\theta_A=\frac{\langle x,y\rangle_A}{\|x\|_A\|y\|_A}

Der Winkel $\theta_A$ ist damit wohldefiniert. Vektoren sind $A$ -orthogonal, wenn $\langle x,y\rangle_A=0$ gilt. Eine Änderung von $A$ ändert die Geometrie. Daher müssen euklidisch senkrechte Vektoren $in einer gewichteten Metrik nicht senkrecht sein$ .

Euklidische und gewichtete Winkel vergleichen

Sei

\begin{aligned} &A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}, \\ &x=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}, \\ &y=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix} \end{aligned}

Die positiven Eigenwerte bestätigen, dass $A$ symmetrisch positiv definit ist. Obwohl $x^Ty=0$ gilt, ergibt die $gewichtete Geometrie$

\langle x,y\rangle_A=x^TAy=1

Dieselben Koordinatenvektoren stehen somit in der euklidischen Geometrie senkrecht, bilden in der $A$ -Geometrie aber einen Winkel von $60^\circ$ .

Orthogonale komplexe Vektoren mit Konjugation

Für das Standardskalarprodukt sei

x=\begin{pmatrix}1\\i\end{pmatrix},\qquad y=\begin{pmatrix}i\\1\end{pmatrix}

Dann gilt

\begin{aligned} \langle x,y\rangle &=x^Hy \\ &=\begin{pmatrix}1&-i\end{pmatrix}\begin{pmatrix}i\\1\end{pmatrix} \\ &=i-i \\ &=0 \end{aligned}

$Die Konjugation$ in $x^H$ ist wesentlich. Mit $x^Ty$ erhielte man nicht das komplexe Standardskalarprodukt, denn $x^Tx$ muss keine nichtnegative reelle Zahl sein.

Projektion in gewichteter Geometrie

Die Projektion von $x$ auf den von $u$ ungleich null aufgespannten eindimensionalen Unterraum lautet

\operatorname{proj}^{A}_{u}(x)=u\frac{\langle u,x\rangle_A}{\langle u,u\rangle_A}

Das $Residuum$ ist $A$ -orthogonal zu $u$ :

\left\langle u,x-\operatorname{proj}^{A}_{u}(x)\right\rangle_A=0

Dasselbe geometrische Prinzip liegt der gewichteten Methode der kleinsten Quadrate zugrunde: Das angepasste Residuum steht bezüglich des gewählten Skalarprodukts senkrecht auf dem Modellraum.

Projiziere mit demselben $A$ den Vektor $x=e_2$ auf $u=e_1$ . Der gewichtete Koeffizient ist $1/2$ , der euklidische Koeffizient dagegen null:

\operatorname{proj}^{A}_{e_1}(e_2)=\frac12e_1,\qquad r=\begin{pmatrix}-1/2\\1\end{pmatrix},\qquad e_1^TAr=2(-1/2)+1=0

Ein Skalarprodukt als Matrix schreiben

In der Standardbasis $e_1,\ldots,e_n$ besitzt jedes endlichdimensionale Skalarprodukt genau eine Darstellungsmatrix mit den Einträgen

a_{ij}=\langle e_i,e_j\rangle

Diese Matrix ist über den reellen Zahlen symmetrisch positiv definit und über den komplexen Zahlen hermitesch positiv definit.

Für Vektoren $v_1,\ldots,v_k$ wird die Gram-Matrix wie folgt definiert:

G_{ij}=\langle v_i,v_j\rangle_A

Die Gram-Matrix ist hermitesch positiv semidefinit. Sie ist genau dann positiv definit, wenn die Vektoren $linear unabhängig$ sind. Ihre Einträge erfassen alle paarweisen Skalarprodukte und erlauben damit die Prüfung von Winkeln und linearer Unabhängigkeit.