Spektralsatz für komplexe Matrizen

Charakterisierung der unitären Diagonalisierung

Der komplexe Spektralsatz charakterisiert genau, wann Eigenvektoren orthonormal gewählt werden können. Er verbindet die Geometrie einer unitären Basis mit der algebraischen Bedingung der Normalität.

Für $A\in\mathbb{C}^{n\times n}$ sind die folgenden Aussagen äquivalent:

Es gibt eine Orthonormalbasis von $\mathbb{C}^n$ , die aus Eigenvektoren von $A$ besteht.
Die Matrix ist normal: $A^HA=AA^H$ .
Es gibt eine unitäre Matrix $U$ und eine Diagonalmatrix $\Lambda$ mit $A=U\Lambda U^H$ .

Der Satz ist stärker als gewöhnliche Diagonalisierbarkeit. Eine diagonalisierbare Matrix kann eine schlecht konditionierte Eigenvektorbasis besitzen, während $eine unitäre Basis Normen und Winkel erhält$ .

Beweis der ersten Richtung

Nehmen wir zunächst an, dass eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren existiert. Daraus zeigen wir direkt, dass die Matrix normal ist.

Sei $v_1, \ldots, v_n$ eine Orthonormalbasis bestehend aus Eigenvektoren der Matrix $A$ . Für jedes $j = 1, \ldots, n$ haben wir $Av_j = \lambda_j v_j$ .

Da es sich um eine Orthonormalbasis handelt, haben wir die folgende Berechnungsfolge:

(A^H v_i)^H v_j = v_i^H (Av_j) = v_i^H (\lambda_j v_j)

Das bedeutet $A^H v_i = \overline{\lambda_i} v_i$ , sodass:

AA^H v_i = A(\overline{\lambda_i} v_i) = \overline{\lambda_i} \lambda_i v_i

Da dies für $alle Basisvektoren$ gilt, ist $AA^H = A^H A$ , was bedeutet, dass $A$ normal ist.

Beweis von der Normalität zur Diagonalisierung

Die Gegenrichtung lässt sich durch $vollständige Induktion$ über die Matrixgröße zeigen. Der Basisschritt behandelt die kleinste Größe, für die die Aussage gilt, und der Induktionsschritt führt eine normale $n \times n$ -Matrix auf einen normalen Block der Größe $(n-1) \times (n-1)$ zurück.

Mathematische Induktionsstruktur

Der Beweis wird durch Induktion geführt, deshalb legen die Schritte unten den Induktionsanfang fest, nennen die Induktionsannahme und vollziehen danach den Schritt von $n-1$ nach $n$ .

$Basisschritt$ Für $n = 0$ erfüllt die leere Matrix die Aussage.

$Induktionshypothese$ Nimm an, dass die Aussage für alle Normalmatrizen der Größe $(n-1) \times (n-1)$ wahr ist.

$Induktionsschritt$ Sei $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ normal. Nach dem Fundamentalsatz der Algebra besitzt $A$ einen Eigenwert $\lambda_1 \in \mathbb{C}$ . Sei $v_1 \in \mathbb{C}^n$ ein zugehöriger Eigenvektor mit $v_1^H v_1 = 1$ .

Es gilt $Av_1 = \lambda_1 v_1$ . Das folgende Lemma zeigt, dass außerdem $A^H v_1 = \overline{\lambda_1} v_1$ gilt.

Warum die Adjungierte denselben Eigenvektor besitzt

Sei $B=A-\lambda_1I$ . Da $A$ normal ist, ist auch $B$ normal. Deshalb gilt

\|B^Hv_1\|_2^2=v_1^HBB^Hv_1

Also ist $B^Hv_1=0$ und damit genau $A^Hv_1=\overline{\lambda_1}v_1$ . Dieser Zwischenschritt sorgt dafür, dass das $orthogonale Komplement$ von $v_1$ invariant ist.

Bildung des invarianten Unterraums

Vervollständige $v_1$ mit den Vektoren $v_2, \ldots, v_n$ zu einer Orthonormalbasis von $\mathbb{C}^n$ . Definiere:

W = \operatorname{span}(v_2, \ldots, v_n)

Die lineare Hülle der Vektoren $v_2, \ldots, v_n$ ist die Menge aller ihrer Linearkombinationen. Mit anderen Worten: $W$ enthält genau die Vektoren, die sich als $a_2 v_2 + a_3 v_3 + \cdots + a_n v_n$ mit $a_2, a_3, \ldots, a_n \in \mathbb{C}$ schreiben lassen.

Für jeweils $w \in W$ haben wir:

(Aw)^H v_1 = w^H (A^H v_1) = w^H (\overline{\lambda_1} v_1)

Also $Aw \in W$ , was bedeutet:

A(W) = \{Aw \mid w \in W\} \subset W

Mit anderen Worten ist $W$ unter $A$ $invariant$ : Wendet man $A$ auf einen Vektor aus $W$ an, liegt das Ergebnis wieder in $W$ .

Unitäre Transformation und Bewahrung der Normalität

Sei $T \in \mathbb{C}^{n \times n}$ eine unitäre Matrix mit den Spalten $v_1, \ldots, v_n$ . Dann $T \cdot T^H = T \cdot T^{-1} = I$ .

Bezüglich dieser unitären Basis hat $A$ folgende Blockform:

T^H \cdot A \cdot T = T^{-1} \cdot A \cdot T

Der rechte untere Block $A'$ hat die Größe

A' \in \mathbb{C}^{(n-1) \times (n-1)}

Da unitäre Ähnlichkeitstransformationen die $Normalität bewahren$ , gilt:

(T^H \cdot A \cdot T) \cdot (T^H \cdot A \cdot T)^H

Daher ist auch die Blockdiagonalmatrix normal, was bedeutet, dass auch $A'$ normal ist.

Konstruktion einer vollständigen orthonormalen Basis

Nach der Induktionshypothese besitzt $A'$ eine $Orthonormalbasis$ $v'_2, \ldots, v'_n$ aus Eigenvektoren. Sei $S'$ die unitäre Matrix mit diesen Spalten, wobei:

S' \in \mathbb{C}^{(n-1) \times (n-1)}

In der Basis $S'$ wird die Matrix $A'$ diagonal:

S'^H \cdot A' \cdot S' = \begin{pmatrix} \lambda_2 & & \\ & \ddots & \\ & & \lambda_n \end{pmatrix}

Die Diagonaleinträge $\lambda_2, \ldots, \lambda_n$ sind die Eigenwerte von $A'$ .

Jetzt definieren wir:

S = T \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0^T \\ 0 & S' \end{pmatrix}

Dann ist $S$ eine unitäre Matrix mit:

S \in \mathbb{C}^{n \times n}

Das Einsetzen der Matrix $S$ in die Ähnlichkeitstransformation ergibt

\begin{aligned} &S^H \cdot A \cdot S \\ &= \begin{pmatrix} 1 & 0^T \\ 0 & S'^H \end{pmatrix} \cdot T^H \cdot A \cdot T \\ &\quad{}\cdot \begin{pmatrix} 1 & 0^T \\ 0 & S' \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0^T \\ 0 & S'^H A' S' \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \lambda_1 & & \\ & \ddots & \\ & & \lambda_n \end{pmatrix} \end{aligned}

Die Spalten von $S$ bilden eine Orthonormalbasis der Eigenvektoren der Matrix $A$ .

Reeller Matrixfall

Bei reellen Matrizen ist entscheidend, ob die benötigten Eigenwerte und Eigenvektoren reell bleiben. Eine reelle Matrix:

A \in \mathbb{R}^{n \times n}

Die reelle Matrix $A$ heißt normal, wenn

A \cdot A^T = A^T \cdot A

Reelle normale Matrizen sind über $\mathbb{C}$ weiterhin unitär diagonalisierbar, ihre Eigenwerte und Eigenvektoren müssen jedoch nicht reell sein. Über $\mathbb{R}$ führt ein orthogonaler Basiswechsel zu einer Blockdiagonalmatrix mit reellen Eigenwertblöcken $(\lambda)$ und Blöcken

\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}

Jeder $2\times2$ -Block steht für ein konjugiertes Eigenwertpaar $a\pm bi$ . Eine reelle normale Matrix ist über $\mathbb{R}$ genau dann orthogonal diagonalisierbar, wenn $alle Eigenwerte reell$ sind.

Symmetrische Matrizen und orthogonale Matrizen sind immer normal. Für eine symmetrische Matrix mit $A^T = A$ gilt

A \cdot A^T = A \cdot A = A^T \cdot A

Für eine orthogonale Matrix $A^T = A^{-1}$ gilt:

A \cdot A^T = A \cdot A^{-1} = I

Rotationsbeispiel

Eine $Vierteldrehung$ wird durch die folgende Matrix dargestellt:

R=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}

Die Matrix $R$ ist reell und orthogonal, also normal. Ihre Eigenwerte sind $i$ und $-i$ mit den folgenden normierten Eigenvektoren:

\begin{aligned} &u_+=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\-i\end{pmatrix}, \\ &u_-=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\i\end{pmatrix} \end{aligned}

Damit ist $R$ über $\mathbb{C}$ unitär diagonalisierbar, kann aber nicht durch eine reelle orthogonale Matrix diagonalisiert werden. Über $\mathbb{R}$ ist die Rotationsmatrix selbst der benötigte $2\times2$ -Block.