Ableitungen algebraischer Funktionen

Anwendung der Ableitungsregeln

Die Ableitungsregeln gelten für viele algebraische Formen. Bestimme bei einem Polynom, einer rationalen Funktion oder einem Wurzelausdruck $zuerst die Struktur$ und wähle dann $die passende Regel$ . Die folgenden Beispiele begründen jede Auswahl.

Ableitungsregeln auf algebraische Funktionen anwenden

Jedes Beispiel behandelt eine andere algebraische Form und begründet die Wahl der Methode. Schreibe einen Quotienten oder $eine Wurzel vor dem Ableiten als Potenz$ , denn dann greift die Potenzregel direkt bei jedem Glied.

Differenzieren eines Polynoms

Bestimme die erste Ableitung von $y = 4x^2 + x + 2$ .

$Lösung$ :

Wir können jeden Term einzeln differenzieren, indem wir die Potenzregel und die Konstantenregel verwenden.

\begin{aligned}y'&=4(2x)+1+0\\&=8x+1\end{aligned}

Die Ableitung des linearen Terms $x$ ist $1$ , die Ableitung der Konstanten $2$ ist $0$ . Das Ergebnis $8x+1$ gilt für alle reellen Zahlen, auch für $x=0$ .

Funktionen mit Wurzeln ableiten

Bestimme für $x>0$ die erste Ableitung von $y = x\sqrt{x^3}$ .

$Lösung$ :

Es gibt zwei Möglichkeiten, dieses Problem zu lösen.

$Methode 1: Produktregel$

Zuerst wandeln wir die Wurzelform in einen Exponenten um: $y = x \cdot x^{3/2}$ .

Seien $u(x) = x$ und $v(x) = x^{3/2}$ . Dann $u'(x)=1$ und $v'(x) = \frac{3}{2}x^{1/2}$ .

y' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)

$Methode 2: Zuerst vereinfachen$

Wir können die Funktion vereinfachen, bevor wir sie differenzieren.

y = x \cdot x^{3/2} = x^{1 + 3/2} = x^{5/2}

Beide Methoden liefern $y'=\frac{5}{2}x^{3/2}$ . Das vorherige Vereinfachen benötigt weniger Schritte. Die Produktregel differenziert beide Faktoren getrennt und dient damit als unabhängige Kontrolle derselben Ableitung. Als reellwertige Funktion hat der ursprüngliche Ausdruck den Definitionsbereich $x \ge 0$ . Die Ableitung oben wird im Inneren dieses Bereichs, also für $x>0$ , bestimmt.

Rationale Funktionen ableiten

Bestimme im Definitionsbereich $x\ne0$ die erste Ableitung von $y = 2\left(\frac{x^2+2}{x}\right)$ .

$Lösung$ :

Wir verwenden die Quotientenregel. Seien $u(x) = x^2+2$ und $v(x) = x$ . Dann $u'(x) = 2x$ und $v'(x) = 1$ .

y' = 2 \cdot \left(\frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}\right)

Die Einschränkung $x\ne0$ gehört weiterhin zum Definitionsbereich der Ableitung.

Übungen

Jede Aufgabe verlangt die Ableitung eines algebraischen Terms. Vereinfache den Term wenn möglich und wende dann die $Potenzregel$ an.

Bestimme für $x>0$ die erste Ableitung von $y = \frac{\sqrt{x} + x^2}{2x}$ .

Ausführliche Lösung

Schreibe die Funktion zuerst als $Summe von Potenzen$ . Danach kann die $Potenzregel$ auf jeden Term angewendet werden.

$Schritt 1$ : Bruch aufteilen

Verteile den gemeinsamen Nenner auf die beiden Terme im Zähler:

$y = \frac{\sqrt{x}}{2x} + \frac{x^2}{2x}$

$Schritt 2$ : Jeden Term vereinfachen

Schreibe die Quadratwurzel als Potenz $x^{1/2}$ und vereinfache jeden Term mit den Potenzgesetzen.
$y = \frac{x^{1/2}}{2x^1} + \frac{x^2}{2x^1}$
$Schritt 3$ : $Potenzregel$ anwenden

Sobald die Funktion vereinfacht ist, können wir sie Term für Term direkt differenzieren.
$y' = \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}x^{-1/2 - 1}\right) + \frac{1}{2}(1)$
Die erste Ableitung ist also $\frac{1}{2} - \frac{1}{4}x^{-3/2}$ .

Anwendung der Ableitungsregeln

Ableitungsregeln auf algebraische Funktionen anwenden

Differenzieren eines Polynoms

Bestimme die erste Ableitung von $y = 4x^2 + x + 2$ .

$Lösung$ :

Wir können jeden Term einzeln differenzieren, indem wir die Potenzregel und die Konstantenregel verwenden.

\begin{aligned}y'&=4(2x)+1+0\\&=8x+1\end{aligned}

Die Ableitung des linearen Terms $x$ ist $1$ , die Ableitung der Konstanten $2$ ist $0$ . Das Ergebnis $8x+1$ gilt für alle reellen Zahlen, auch für $x=0$ .

Funktionen mit Wurzeln ableiten

Bestimme für $x>0$ die erste Ableitung von $y = x\sqrt{x^3}$ .

$Lösung$ :

Es gibt zwei Möglichkeiten, dieses Problem zu lösen.

$Methode 1: Produktregel$

Zuerst wandeln wir die Wurzelform in einen Exponenten um: $y = x \cdot x^{3/2}$ .

Seien $u(x) = x$ und $v(x) = x^{3/2}$ . Dann $u'(x)=1$ und $v'(x) = \frac{3}{2}x^{1/2}$ .

y' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)

$Methode 2: Zuerst vereinfachen$

Wir können die Funktion vereinfachen, bevor wir sie differenzieren.

y = x \cdot x^{3/2} = x^{1 + 3/2} = x^{5/2}

Beide Methoden liefern $y'=\frac{5}{2}x^{3/2}$ . Das vorherige Vereinfachen benötigt weniger Schritte. Die Produktregel differenziert beide Faktoren getrennt und dient damit als unabhängige Kontrolle derselben Ableitung. Als reellwertige Funktion hat der ursprüngliche Ausdruck den Definitionsbereich $x \ge 0$ . Die Ableitung oben wird im Inneren dieses Bereichs, also für $x>0$ , bestimmt.

Rationale Funktionen ableiten

Bestimme im Definitionsbereich $x\ne0$ die erste Ableitung von $y = 2\left(\frac{x^2+2}{x}\right)$ .

$Lösung$ :

Wir verwenden die Quotientenregel. Seien $u(x) = x^2+2$ und $v(x) = x$ . Dann $u'(x) = 2x$ und $v'(x) = 1$ .

y' = 2 \cdot \left(\frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}\right)

Die Einschränkung $x\ne0$ gehört weiterhin zum Definitionsbereich der Ableitung.

Übungen

Jede Aufgabe verlangt die Ableitung eines algebraischen Terms. Vereinfache den Term wenn möglich und wende dann die $Potenzregel$ an.

Bestimme für $x>0$ die erste Ableitung von $y = \frac{\sqrt{x} + x^2}{2x}$ .

Ausführliche Lösung

Schreibe die Funktion zuerst als $Summe von Potenzen$ . Danach kann die $Potenzregel$ auf jeden Term angewendet werden.

$Schritt 1$ : Bruch aufteilen

Verteile den gemeinsamen Nenner auf die beiden Terme im Zähler:

$y = \frac{\sqrt{x}}{2x} + \frac{x^2}{2x}$

$Schritt 2$ : Jeden Term vereinfachen

Schreibe die Quadratwurzel als Potenz $x^{1/2}$ und vereinfache jeden Term mit den Potenzgesetzen.
$y = \frac{x^{1/2}}{2x^1} + \frac{x^2}{2x^1}$
$Schritt 3$ : $Potenzregel$ anwenden

Sobald die Funktion vereinfacht ist, können wir sie Term für Term direkt differenzieren.
$y' = \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}x^{-1/2 - 1}\right) + \frac{1}{2}(1)$
Die erste Ableitung ist also $\frac{1}{2} - \frac{1}{4}x^{-3/2}$ .