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Wir beginnen mit einer Sekante, also einer Geraden durch zwei verschiedene Punkte einer Kurve.
Die Kurve stelle dar. Wir wählen darauf zwei verschiedene Punkte, und . Dabei ist (sprich „Delta x“) die waagerechte Änderung von nach . Daher gilt .
Die Steigung der Sekante durch und lautet:
Diese Steigung ist die mittlere Änderungsrate von zwischen und .
Stell dir vor, du wählst auf der Parabel immer näher an . Der waagerechte Abstand nähert sich dann null. Wir können die Folgen dieser Punktwahl berechnen, ohne die Parabelgleichung zu ändern.
Für (sprich „Delta x nähert sich Null“) nähern sich die Sekanten der Tangente in . Die Tangente beschreibt dort die lokale Richtung der Kurve. Wie oft sie die Kurve insgesamt schneidet, ist unerheblich. Entscheidend ist ihr Verhalten in der Umgebung von .
Die Tangentensteigung ist die momentane Änderungsrate der Kurve in . Wir bestimmen sie mit einem Grenzwert:
Für die dargestellte Parabel halten wir fest und schreiben . Der zweite Punkt lautet . Solange gilt, lässt sich die Sekantensteigung vereinfachen:
Der Faktor darf gekürzt werden, weil die beiden Punkte noch verschieden sind. Die Tabelle vergleicht Steigungen, wenn links oder rechts von liegt.
| Sekantensteigung | |
|---|---|
Wenn der waagerechte Abstand von beiden Seiten gegen null geht, nähert sich die Steigung dem Wert . Die Tangentensteigung in beträgt also . Wir bilden den Grenzwert erst nach dem Kürzen und teilen daher nie durch null.
Der Grenzwert der Sekantensteigungen für gegen Null heißt Ableitung.
Die Ableitung einer Funktion , bezeichnet als (sprich „f prim x“), ist definiert als:
Das Bestimmen einer Ableitung heißt Differenzieren.
Die Ableitung ist eine neue Funktion. Für jeden Wert , an dem der Grenzwert existiert, gibt sie die momentane Änderungsrate von und damit die dortige Tangentensteigung an. Die Differentialrechnung verwendet die Ableitungsfunktion, um beide Größen zu untersuchen.
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