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Stell dir ein Fahrrad auf einer hügeligen Straße vor. Manche Abschnitte steigen steil an, andere sind fast eben. Die Steigung ändert sich von Punkt zu Punkt. Bei einem gekrümmten Funktionsgraphen ist es ähnlich.
Bei einer Geraden ist die Steigung überall gleich. Bei einer gekrümmten Linie verändert sie sich dagegen fortlaufend. Die liefert die Steigung oder Änderungsrate an der Kurve.
Wir beginnen mit einer Sekante, also einer Geraden durch zwei verschiedene Punkte einer Kurve.
Die Kurve stelle dar. Wir wählen darauf zwei verschiedene Punkte, und . Dabei ist (sprich „Delta x“) die waagerechte Änderung von nach . Daher gilt .
Die Steigung der Sekante durch und lautet:
Diese Steigung ist die mittlere Änderungsrate von zwischen und .
Nun verschieben wir immer näher an . Der waagerechte Abstand wird kleiner und geht gegen Null.
Für (sprich „Delta x nähert sich Null“) nähern sich die Sekanten der Tangente in . Die Tangente beschreibt dort die lokale Richtung der Kurve. Sie muss die gesamte Kurve nicht nur einmal schneiden; entscheidend ist ihr Verhalten in der Umgebung von .
Die Tangentensteigung ist die momentane Änderungsrate der Kurve in . Wir bestimmen sie mit einem Grenzwert:
Der Grenzwert der Sekantensteigungen für gegen Null heißt Ableitung.
Die Ableitung einer Funktion , bezeichnet als (sprich „f prim x“), ist definiert als:
Das Bestimmen einer Ableitung heißt Differenzieren.
Die Ableitung ist eine neue Funktion. Für jeden Wert , an dem der Grenzwert existiert, gibt sie die momentane Änderungsrate von und damit die dortige Tangentensteigung an. Diese Idee bildet die Grundlage der Differentialrechnung.
