Zusammenhang zwischen Ableitung und Tangente
Die Ableitung beschreibt, wie sich eine Funktion an einer bestimmten Stelle verändert. Geometrisch erscheint diese Änderung als Steigung der Tangente am Graphen.
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Vergrößern wir eine glatte Kurve in der Umgebung eines Punktes, sieht ein hinreichend kleiner Ausschnitt nahezu gerade aus. Die Gerade, die diese lokale Richtung beschreibt, heißt Tangente. An der Stelle des Graphen ist ihre Steigung gleich dem dortigen Ableitungswert: .
Für die Gleichung einer Geraden benötigen wir einen Punkt auf der Geraden und ihre Steigung. Bei einer Tangente sind das:
Beide Werte werden in die Punkt-Steigungs-Form eingesetzt:
Wir leiten die Funktion ab, berechnen den Ableitungswert am Berührpunkt und setzen diesen als Steigung zusammen mit dem Punkt in die Geradengleichung ein.
Bestimme die Gleichung der Tangente an die Parabel im Punkt .
Lösung:
Schritt 1: Steigung der Tangente bestimmen
Wir leiten ab und erhalten damit die Steigung an jeder Stelle.
Der Berührpunkt hat die Koordinate . Deshalb werten wir die Ableitung dort aus.
Die Steigung der Tangente beträgt also .
Schritt 2: Geradengleichung aufstellen
Punkt und Steigung sind nun bekannt:
Wir setzen beide Werte in die Punkt-Steigungs-Form ein:
Die Gleichung der Tangente lautet also .
Jede Aufgabe verlangt eine Tangente, die eine Zusatzbedingung erfüllt. Nutze die Ableitung, um die verlangte Steigung zu treffen, bevor du die Gleichung aufschreibst.
Bestimme die Gleichung der Tangente an die Kurve , die parallel zur Geraden verläuft.
Bestimme die Gleichungen der Tangenten an die Parabel an den Punkten mit der -Koordinate .
Die Kurve schneidet die -Achse im Punkt . Bestimme die Gleichung der Tangente in diesem Punkt.
Die Kurve schneidet die -Achse im Punkt . Zeige, dass die Tangente an die Kurve im Punkt parallel zur -Achse verläuft und vom Ursprung entfernt ist!
Bestimme den Punkt auf der Kurve , in dem die Tangente mit der positiven -Achse einen Winkel von bildet. Bestimme außerdem die Gleichung dieser Tangente.
Aufgabe 1. Die gesuchte Tangente ist parallel zur gegebenen Geraden. Beide haben daher dieselbe Steigung.
Schritt 1: Steigung bestimmen.
Die Tangente muss parallel zur Geraden sein. Wir bringen deren Gleichung zunächst in die Form und lesen die Steigung ab.
Die Gerade und jede zu ihr parallele Tangente haben somit die Steigung .
Schritt 2: Berührpunkt bestimmen.
Die Steigung der Kurve an einem Punkt ist gleich dem Wert der ersten Ableitung an diesem Punkt. Ermitteln wir zunächst die Ableitungsfunktion von .
Die Ableitung am Berührpunkt muss gleich der bekannten Steigung sein. Daraus bestimmen wir seine -Koordinate.
Wir setzen die -Koordinate in die ursprüngliche Kurvengleichung ein und erhalten die zugehörige -Koordinate.
Der Tangentenpunkt ist also .
Schritt 3: Geradengleichung aufstellen.
Mit dem Punkt und der Steigung lautet die Gleichung:
Aufgabe 2. Bestimme alle Punkte der Parabel mit der vorgegebenen Höhe und anschließend die Tangente in jedem dieser Punkte.
Schritt 1: Berührpunkte bestimmen.
Da die Ordinate ist, setzen wir in die Parabelgleichung.
Die Faktorisierung liefert und . Daher gibt es zwei Berührpunkte, und , und entsprechend zwei Tangenten.
Schritt 2: Steigung und Gleichung für jeden Punkt bestimmen.
Wir betrachten beide Berührpunkte getrennt. Die Ableitung lautet .
Fall Eins: Punkt
Die Steigung beträgt dort .
Somit lautet die Gleichung:
Fall zwei: Punkt
Die Steigung beträgt dort .
Somit lautet die Gleichung:
Aufgabe 3. Bestimme zuerst den Schnittpunkt mit der waagerechten Achse und danach die Tangentensteigung an dieser Stelle.
Schritt 1: Punkt bestimmen.
Die Kurve schneidet die -Achse, wenn .
Der Schnittpunkt ist also .
Schritt 2: Steigung in bestimmen.
Wir schreiben die Funktion zunächst als , damit sie sich direkt ableiten lässt.
Die Steigung bei beträgt .
Schritt 3: Geradengleichung aufstellen.
Mit dem Punkt und der Steigung lautet die Gleichung:
Aufgabe 4. Bestimme den Schnittpunkt mit der senkrechten Achse und prüfe dann mithilfe der Ableitung die Richtung der Tangente.
Schritt 1: Punkt bestimmen.
Die Kurve schneidet die -Achse, wenn .
Der Schnittpunkt ist also .
Schritt 2: Parallelität zur -Achse zeigen.
Eine Gerade parallel zur -Achse hat die Steigung . Deshalb prüfen wir den Ableitungswert im Punkt an der Stelle .
Die Ableitung von unter Verwendung der Kettenregel ist .
Die Steigung bei beträgt .
Die Tangente hat also die Steigung null und verläuft parallel zur -Achse.
Schritt 3: Abstand von zum Ursprung zeigen.
Die Gleichung der Tangente am Punkt mit der Steigung lautet:
Die Gerade ist waagerecht. Jeder ihrer Punkte hat zur -Achse, also zur Geraden , den Abstand . Da der Ursprung auf der -Achse liegt, beträgt auch sein Abstand zur Tangente . Damit sind beide Aussagen gezeigt.
Aufgabe 5. Der vorgegebene Winkel bestimmt die Steigung. Setze sie mit der Ableitung gleich, um den Berührpunkt zu finden.
Schritt 1: Steigung aus dem Winkel bestimmen.
Die Beziehung zwischen der Steigung () und dem Winkel (), den eine Linie mit der positiven -Achse bildet, ist durch gegeben.
Die Steigung der gesuchten Tangente beträgt also .
Schritt 2: Koordinaten des Berührpunkts bestimmen.
Die Steigung der Tangente ist zugleich der Ableitungswert der Kurve .
Wir setzen die Ableitung gleich der zuvor bestimmten Steigung:
Durch Einsetzen von in die Kurvengleichung erhalten wir die -Koordinate:
Die Koordinaten des Tangentenpunkts lauten also .
Schritt 3: Tangentengleichung bestimmen.
Mit dem Punkt und der Steigung gilt:
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