Ableitungen trigonometrischer Funktionen

Warum die Ableitungsformeln das Bogenmaß voraussetzen

Für trigonometrische Funktionen gelten dieselben Summen-, Produkt-, Quotienten- und Kettenregeln wie für algebraische Funktionen. Neu sind lediglich die grundlegenden Ableitungen, von denen wir ausgehen.

Alle folgenden Formeln setzen voraus, dass Winkel im Bogenmaß angegeben sind. Im Gradmaß liefert die Kettenregel den zusätzlichen Faktor $\pi/180$.

Grundlegende trigonometrische Ableitungen

Die Formeln für Sinus und Kosinus folgen direkt aus der Grenzwertdefinition der Ableitung. Die übrigen vier lassen sich anschließend mit trigonometrischen Identitäten sowie der Produkt- oder Quotientenregel herleiten.

Die Tabelle ordnet jeder Funktion ihre Ableitung und die Bedingung für ihren Definitionsbereich zu. Alle Winkel stehen im Bogenmaß. Einschränkungen für einen Nenner gelten auch nach dem Ableiten.

Sinus und seine Steigung verbinden

Für $f(x)=\sin x$ beschreibt die Ableitung $f'(x)=\cos x$ die Steigung der Sinuskurve. Bei $x=0$ beträgt die Sinussteigung $1$. Am Hochpunkt bei $x=\pi/2$ wird die Steigung $0$.

Auf $-\pi/2<x<\pi/2$ ist der Kosinus positiv, also steigt der Sinus. Auf $\pi/2<x<\pi$ ist der Kosinus negativ, also fällt der Sinus. Eine Ableitung von null am Hochpunkt bedeutet eine waagerechte Tangente.

Anwenden der Regeln auf trigonometrische Funktionen

Die folgenden Beispiele verbinden diese Formeln mit den bekannten Ableitungsregeln. Bestimme zuerst die äußere Regel, leite dann den Winkel ab und multipliziere, denn die Ableitung von $\sin u$ ist gleich $\cos u$ mal der Ableitung von $u$.

Kombination aus Algebra und Trigonometrie

Bestimme die Ableitung von $y = 2 \sin x + 5x$.

Lösung:

Mithilfe der Summenregel können wir diese Funktion Term für Term differenzieren.

Verwendung der Produktregel

Bestimme die Ableitung von $y = 2 \sin x \tan x$.

Lösung:

Verwende die Produktregel $y' = u'v + uv'$.

Seien $u = 2 \sin x$ und $v = \tan x$.

Dann $u' = 2 \cos x$ und $v' = \sec^2 x$.

Verwendung der Quotientenregel

Bestimme auf dem Definitionsbereich $\sin x \ne 0$ die Ableitung von $y = \frac{1 + \cos x}{\sin x}$.

Lösung:

Verwende die Quotientenregel $y' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Seien $u = 1 + \cos x$ und $v = \sin x$.

Dann $u' = -\sin x$ und $v' = \cos x$.

Berechne zuerst den Zähler:

Verwende die pythagoräische Identität:

Faktorisiere den Ausdruck:

Die vereinfachte Formel gilt weiterhin nur auf dem ursprünglichen Definitionsbereich. Werte mit $\sin x=0$ bleiben ausgeschlossen, auch wenn der letzte Ausdruck dort definiert zu sein scheint.

Übungen

Jede Aufgabe verlangt die erste Ableitung eines trigonometrischen Terms, die zweite ist ein Produkt. Wähle die Regel, die zur Struktur passt.

1. Bestimme die erste Ableitung von $f(x) = 4x^3 - 5 \cos x$.
2. Bestimme die erste Ableitung von $f(x) = \sin x \cos x$.

Ausführliche Lösungen

1. Lösung:

   Verwende die Differenzregel und leite beide Terme einzeln ab.

   Schritt 1: Ersten Term ableiten

   Die Ableitung von $4x^3$ nach der Potenzregel ist $3 \cdot 4x^{3-1} = 12x^2$.

   Schritt 2: Zweiten Term ableiten

   Die Ableitung von $-5 \cos x$ ist $-5(-\sin x) = 5 \sin x$.

   Schritt 3: Ergebnisse zusammenführen

   $$f'(x) = 12x^2 + 5 \sin x$$

   Die Ableitung der Funktion ist also $12x^2 + 5 \sin x$.

2. Lösung:

   Verwende die Produktregel $f'(x) = u'v + uv'$.

   Schritt 1: $u$, $v$, $u'$ und $v'$ bestimmen

   Seien $u = \sin x$ und $v = \cos x$.

   Dann $u' = \cos x$ und $v' = -\sin x$.

   Schritt 2: Produktregel anwenden

   $$\begin{aligned} f'(x) &= (\cos x)(\cos x) \\ &\quad{}+ (\sin x)(-\sin x) \end{aligned}$$

   $$f'(x) = \cos^2 x - \sin^2 x$$

   Schritt 3: Eine trigonometrische Identität verwenden (optional)

   Das Ergebnis kann auch mit der doppelten Winkelidentität $\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$ vereinfacht werden.

   $$f'(x) = \cos(2x)$$

   Die Ableitung der Funktion ist also $\cos(2x)$.