Hyperbel

Äste und Brennpunkte der Hyperbel

Der senkrechte Umriss eines Kühlturms erinnert oft an eine Hyperbel. Auch die kegelförmige Stoßwelle eines Überschallflugzeugs kann dort, wo sie auf den Boden trifft, eine hyperbolische Kurve bilden. Ein physikalisches Modell kann nur einen Teil der Kurve zeigen. Die vollständige mathematische Hyperbel hat zwei Äste.

Geometrisch entsteht eine Hyperbel, wenn eine Ebene beide Hälften eines Doppelkegels schneidet. Anders als die geschlossene Ellipse hat sie $zwei getrennte Äste$ , die sich in entgegengesetzte Richtungen öffnen.

Eine Hyperbel ist die Ortskurve aller Punkte, für die $der Betrag der Differenz der Abstände$ zu zwei festen Punkten konstant ist. Diese beiden festen Punkte heißen $Brennpunkte$ . Für jeden Punkt $P$ auf der Hyperbel gilt $|PF_1 - PF_2| = 2a$ . Bei einer Ellipse ist dagegen die Summe der Abstände konstant: $PF_1 + PF_2 = 2a$ .

Grundkonzept der Hyperbel

Hyperbel mit zwei Brennpunkten, die einen konstanten Abstandsunterschied aufweisen

Die Darstellung zeigt beide Äste, die beiden Brennpunkte und einen Punkt $P$ auf der Kurve. Die beiden Strecken haben die Längen $r_1=PF_1$ und $r_2=PF_2$ . Wenn $P$ auf einem der Äste wandert, ändern sich beide Längen, ihr absoluter Unterschied bleibt jedoch $|r_1-r_2|=2a$ .

Komponenten einer Hyperbel

Bevor wir die Formeln verwenden, betrachten wir die Teile, die Form und Lage der Kurve bestimmen.

Teile einer Hyperbel

Wichtige Bestandteile einer Hyperbel mit horizontaler Transversalachse.

Die Grafik lässt sich anhand von fünf Merkmalen lesen:

$Das Zentrum der Hyperbel$ ist der Mittelpunkt zwischen den beiden Brennpunkten und wird normalerweise mit $O$ bezeichnet.
$Brennpunkte$ ( $F_1$ und $F_2$ ) sind die beiden festen Punkte in der Definition einer Hyperbel. Bezeichnet $c$ den Abstand vom Mittelpunkt zu einem Brennpunkt, dann beträgt der Abstand zwischen beiden Brennpunkten $2c$ .
$Scheitelpunkte$ ( $A_1$ und $A_2$ ) sind die Punkte der beiden Äste, die dem Mittelpunkt am nächsten liegen. Beide liegen auf der Transversalachse.
$Transversalachse$ ist die Strecke durch den Mittelpunkt, deren Endpunkte die beiden Scheitelpunkte sind. Die Brennpunkte liegen auf der Geraden, die diese Strecke enthält.
$Asymptoten$ sind Linien, denen sich die Äste der Hyperbel nähern, wenn sie sich ins Unendliche erstrecken. Die Hyperbel berührt nie ihre Asymptoten, aber je weiter sie vom Zentrum entfernt ist, desto näher kommt die Kurve den Asymptotenlinien.

Der Hauptunterschied zwischen einer Hyperbel und einer Ellipse: Eine Hyperbel hat Asymptoten und besteht aus zwei separaten Zweigen, während eine Ellipse eine geschlossene Kurve ohne Asymptoten ist.

Gleichung einer Hyperbel

Wir setzen $a > 0$ und $b > 0$ voraus. Die Konstante in der Definition muss $0 < 2a < 2c$ erfüllen, wobei $2c$ der Abstand zwischen den Brennpunkten ist. Die Standardgleichung hängt von der Öffnungsrichtung der Äste und von der Lage des Mittelpunkts ab. Wir betrachten zwei Fälle. Der $positive quadratische Term$ bestimmt die Richtung, ein positives $x^2$ öffnet also nach links und rechts, ein positives $y^2$ nach oben und unten.

Mittelpunkt im Ursprung

Liegt der Mittelpunkt der Hyperbel bei $O(0,0)$ , gibt es zwei mögliche Orientierungen:

Horizontale Transversalachse

Hyperbel

\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1

mit horizontaler Transversalachse.

Wenn die $Transversalachse parallel$ zur $x$ -Achse verläuft, lautet die Gleichung der Hyperbel:

\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1

Die entsprechende vertikale Grafik ist unten dargestellt:

Vertikale Transversalachse

Hyperbel

\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1

mit vertikaler Transversalachse.

Wenn die Transversalachse parallel zur $y$ -Achse verläuft, lautet die Gleichung der Hyperbel:

\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1

Verschobenes Zentrum

Liegt der $Mittelpunkt der Hyperbel$ im Punkt $(h, k)$ , lautet die Gleichung:

Bei horizontaler Transversalachse:

\frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1

Bei vertikaler Transversalachse:

\frac{(y-k)^2}{a^2} - \frac{(x-h)^2}{b^2} = 1

Eigenschaften der Hyperbel

Die drei Parameter jeder Hyperbel erfüllen:

c^2 = a^2 + b^2

Dabei gilt:

$a$ ist der Abstand vom Mittelpunkt zum Scheitelpunkt (reelle Halbachse oder halbe Transversalachse)
$b$ ist die konjugierte Halbachse, die die Steigungen der Asymptoten bestimmt
$c$ ist der Abstand vom Mittelpunkt zum Brennpunkt

Diese Beziehung unterscheidet sich von einer Ellipse, die $c^2 = a^2 - b^2$ verwendet.

$Exzentrizität$ einer Hyperbel ist definiert als:

e = \frac{c}{a}

Die Exzentrizität einer Hyperbel erfüllt stets $e > 1$ , denn aus $c^2 = a^2 + b^2$ folgt $c > a$ . Genauer gilt $e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2}$ . Mit wachsendem $e$ wächst daher auch das Verhältnis $b/a$ , das zugleich die Steigungen der Asymptoten bestimmt. Zum Vergleich: Ein Kreis hat $e = 0$ , eine Ellipse hat $0 < e < 1$ , eine Parabel hat $e = 1$ und eine Hyperbel hat $e > 1$ .

$Asymptotengleichungen$ für eine Hyperbel mit Mittelpunkt bei $(0,0)$ :

Bei horizontaler Transversalachse:

y = \pm \frac{b}{a}x

Bei vertikaler Transversalachse:

y = \pm \frac{a}{b}x

Im horizontalen Graphen oben gilt $a=3$ und $b=2$ . Vergleiche den oberen rechten Ast mit seiner positiven Asymptote bei $x=5$ .

\begin{aligned}\frac{25}{9}-\frac{y^2}{4}&=1\\y^2&=\frac{64}{9}\\y&=\frac{8}{3}\end{aligned}

$Annäherung an eine Asymptote$ bedeutet also nicht, auf ihr zu liegen. Bei dieser Koordinate beträgt der Höhenunterschied zwischen Kurve und Gerade noch $2/3$ einer Einheit.

Die Asymptoten beschreiben die Grenzrichtungen der beiden Äste. Mit wachsendem Abstand vom Mittelpunkt nähert sich jeder Ast einer Asymptote, ohne sie zu schneiden.

Übungen

Aus den Scheitelpunkten bestimmst du die reelle Halbachse, aus den Brennpunkten den Brennpunktabstand und aus dem $positiven quadratischen Term$ die Öffnungsrichtung. Bei einem verschobenen Mittelpunkt müssen auch die Asymptoten durch diesen Mittelpunkt verlaufen.

Bestimme die Gleichung einer Hyperbel mit dem Mittelpunkt $(0,0)$ , den Scheitelpunkten $(\pm 2, 0)$ und den Brennpunkten $(\pm 3, 0)$ .
Gegeben ist die Hyperbel $\frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{9} = 1$ . Bestimme die Brennpunkte, die Exzentrizität und die Gleichungen der Asymptoten.
Eine Hyperbel hat den Mittelpunkt $(1, -2)$ , eine horizontale Transversalachse sowie $a = 3$ und $b = 4$ . Bestimme ihre Gleichung.
Bestimme die Gleichungen der Asymptoten für $\frac{(y+1)^2}{4} - \frac{(x-2)^2}{9} = 1$ .

Ausführliche Lösungen

$Lösung 1$ :

Gegeben sind:

Mittelpunkt $(0,0)$
Scheitelpunkte $(\pm 2, 0)$ , also $a = 2$
Brennpunkte bei $(\pm 3, 0)$ , also $c = 3$
$Horizontale Transversalachse$ (da Scheitelpunkte und Brennpunkte auf der $x$ -Achse liegen)

Mit $c^2 = a^2 + b^2$ erhalten wir:

3^2 = 2^2 + b^2

Gleichung einer Hyperbel mit $horizontaler Transversalachse$ :

\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{5} = 1

$Lösung 2$ :

Aus der Gleichung $\frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{9} = 1$ :

$a^2 = 25$ , also $a = 5$
$b^2 = 9$ , also $b = 3$

Da die Gleichung die Form $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ hat, ist die $Transversalachse horizontal$ .

Zuerst bestimmen wir $c$ :

c^2 = a^2 + b^2 = 25 + 9 = 34

Koordinaten der Brennpunkte: $(\pm \sqrt{34}, 0)$

Exzentrizität:

e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{34}}{5} \approx \frac{5{,}831}{5} \approx 1{,}166

Asymptotengleichungen ( $horizontale Transversalachse$ ):

y = \pm \frac{b}{a}x = \pm \frac{3}{5}x

$Lösung 3$ :

Gegeben sind:

Mittelpunkt: $(h,k) = (1, -2)$
$Horizontale Transversalachse$
$a = 3$ , also $a^2 = 9$
$b = 4$ , also $b^2 = 16$

Gleichung einer Hyperbel mit Mittelpunkt $(h,k)$ und $horizontaler Transversalachse$ :

\frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1

Einsetzen liefert:

\frac{(x-1)^2}{9} - \frac{(y+2)^2}{16} = 1

$Lösung 4$ :

Aus der Gleichung $\frac{(y+1)^2}{4} - \frac{(x-2)^2}{9} = 1$ :

Mittelpunkt: $(h,k) = (2, -1)$
$a^2 = 4$ , also $a = 2$
$b^2 = 9$ , also $b = 3$
$Vertikale Transversalachse$ (da die Gleichung die Form $\frac{(y-k)^2}{a^2} - \frac{(x-h)^2}{b^2} = 1$ hat)

Für eine Hyperbel mit Mittelpunkt $(h,k)$ und vertikaler Transversalachse gelten die Asymptotengleichungen:

y - k = \pm \frac{a}{b}(x - h)

Einsetzen liefert:

y - (-1) = \pm \frac{2}{3}(x - 2)

Die Asymptotengleichungen lauten also:

y = -1 + \frac{2}{3}(x - 2)

Äste und Brennpunkte der Hyperbel

Grundkonzept der Hyperbel

Hyperbel mit zwei Brennpunkten, die einen konstanten Abstandsunterschied aufweisen

Komponenten einer Hyperbel

Bevor wir die Formeln verwenden, betrachten wir die Teile, die Form und Lage der Kurve bestimmen.

Teile einer Hyperbel

Wichtige Bestandteile einer Hyperbel mit horizontaler Transversalachse.

Die Grafik lässt sich anhand von fünf Merkmalen lesen:

$Das Zentrum der Hyperbel$ ist der Mittelpunkt zwischen den beiden Brennpunkten und wird normalerweise mit $O$ bezeichnet.
$Brennpunkte$ ( $F_1$ und $F_2$ ) sind die beiden festen Punkte in der Definition einer Hyperbel. Bezeichnet $c$ den Abstand vom Mittelpunkt zu einem Brennpunkt, dann beträgt der Abstand zwischen beiden Brennpunkten $2c$ .
$Scheitelpunkte$ ( $A_1$ und $A_2$ ) sind die Punkte der beiden Äste, die dem Mittelpunkt am nächsten liegen. Beide liegen auf der Transversalachse.
$Transversalachse$ ist die Strecke durch den Mittelpunkt, deren Endpunkte die beiden Scheitelpunkte sind. Die Brennpunkte liegen auf der Geraden, die diese Strecke enthält.
$Asymptoten$ sind Linien, denen sich die Äste der Hyperbel nähern, wenn sie sich ins Unendliche erstrecken. Die Hyperbel berührt nie ihre Asymptoten, aber je weiter sie vom Zentrum entfernt ist, desto näher kommt die Kurve den Asymptotenlinien.

Der Hauptunterschied zwischen einer Hyperbel und einer Ellipse: Eine Hyperbel hat Asymptoten und besteht aus zwei separaten Zweigen, während eine Ellipse eine geschlossene Kurve ohne Asymptoten ist.

Gleichung einer Hyperbel

Mittelpunkt im Ursprung

Liegt der Mittelpunkt der Hyperbel bei $O(0,0)$ , gibt es zwei mögliche Orientierungen:

Horizontale Transversalachse

Hyperbel

\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1

mit horizontaler Transversalachse.

Wenn die $Transversalachse parallel$ zur $x$ -Achse verläuft, lautet die Gleichung der Hyperbel:

\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1

Die entsprechende vertikale Grafik ist unten dargestellt:

Vertikale Transversalachse

Hyperbel

\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1

mit vertikaler Transversalachse.

Wenn die Transversalachse parallel zur $y$ -Achse verläuft, lautet die Gleichung der Hyperbel:

\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1

Verschobenes Zentrum

Liegt der $Mittelpunkt der Hyperbel$ im Punkt $(h, k)$ , lautet die Gleichung:

Bei horizontaler Transversalachse:

\frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1

Bei vertikaler Transversalachse:

\frac{(y-k)^2}{a^2} - \frac{(x-h)^2}{b^2} = 1

Eigenschaften der Hyperbel

Die drei Parameter jeder Hyperbel erfüllen:

c^2 = a^2 + b^2

Dabei gilt:

$a$ ist der Abstand vom Mittelpunkt zum Scheitelpunkt (reelle Halbachse oder halbe Transversalachse)
$b$ ist die konjugierte Halbachse, die die Steigungen der Asymptoten bestimmt
$c$ ist der Abstand vom Mittelpunkt zum Brennpunkt

Diese Beziehung unterscheidet sich von einer Ellipse, die $c^2 = a^2 - b^2$ verwendet.

$Exzentrizität$ einer Hyperbel ist definiert als:

e = \frac{c}{a}

$Asymptotengleichungen$ für eine Hyperbel mit Mittelpunkt bei $(0,0)$ :

Bei horizontaler Transversalachse:

y = \pm \frac{b}{a}x

Bei vertikaler Transversalachse:

y = \pm \frac{a}{b}x

Im horizontalen Graphen oben gilt $a=3$ und $b=2$ . Vergleiche den oberen rechten Ast mit seiner positiven Asymptote bei $x=5$ .

\begin{aligned}\frac{25}{9}-\frac{y^2}{4}&=1\\y^2&=\frac{64}{9}\\y&=\frac{8}{3}\end{aligned}

$Annäherung an eine Asymptote$ bedeutet also nicht, auf ihr zu liegen. Bei dieser Koordinate beträgt der Höhenunterschied zwischen Kurve und Gerade noch $2/3$ einer Einheit.

Die Asymptoten beschreiben die Grenzrichtungen der beiden Äste. Mit wachsendem Abstand vom Mittelpunkt nähert sich jeder Ast einer Asymptote, ohne sie zu schneiden.

Übungen

Bestimme die Gleichung einer Hyperbel mit dem Mittelpunkt $(0,0)$ , den Scheitelpunkten $(\pm 2, 0)$ und den Brennpunkten $(\pm 3, 0)$ .
Gegeben ist die Hyperbel $\frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{9} = 1$ . Bestimme die Brennpunkte, die Exzentrizität und die Gleichungen der Asymptoten.
Eine Hyperbel hat den Mittelpunkt $(1, -2)$ , eine horizontale Transversalachse sowie $a = 3$ und $b = 4$ . Bestimme ihre Gleichung.
Bestimme die Gleichungen der Asymptoten für $\frac{(y+1)^2}{4} - \frac{(x-2)^2}{9} = 1$ .

Ausführliche Lösungen

$Lösung 1$ :

Gegeben sind:

Mittelpunkt $(0,0)$
Scheitelpunkte $(\pm 2, 0)$ , also $a = 2$
Brennpunkte bei $(\pm 3, 0)$ , also $c = 3$
$Horizontale Transversalachse$ (da Scheitelpunkte und Brennpunkte auf der $x$ -Achse liegen)

Mit $c^2 = a^2 + b^2$ erhalten wir:

3^2 = 2^2 + b^2

Gleichung einer Hyperbel mit $horizontaler Transversalachse$ :

\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{5} = 1

$Lösung 2$ :

Aus der Gleichung $\frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{9} = 1$ :

$a^2 = 25$ , also $a = 5$
$b^2 = 9$ , also $b = 3$

Da die Gleichung die Form $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ hat, ist die $Transversalachse horizontal$ .

Zuerst bestimmen wir $c$ :

c^2 = a^2 + b^2 = 25 + 9 = 34

Koordinaten der Brennpunkte: $(\pm \sqrt{34}, 0)$

Exzentrizität:

e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{34}}{5} \approx \frac{5{,}831}{5} \approx 1{,}166

Asymptotengleichungen ( $horizontale Transversalachse$ ):

y = \pm \frac{b}{a}x = \pm \frac{3}{5}x

$Lösung 3$ :

Gegeben sind:

Mittelpunkt: $(h,k) = (1, -2)$
$Horizontale Transversalachse$
$a = 3$ , also $a^2 = 9$
$b = 4$ , also $b^2 = 16$

Gleichung einer Hyperbel mit Mittelpunkt $(h,k)$ und $horizontaler Transversalachse$ :

\frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1

Einsetzen liefert:

\frac{(x-1)^2}{9} - \frac{(y+2)^2}{16} = 1

$Lösung 4$ :

Aus der Gleichung $\frac{(y+1)^2}{4} - \frac{(x-2)^2}{9} = 1$ :

Mittelpunkt: $(h,k) = (2, -1)$
$a^2 = 4$ , also $a = 2$
$b^2 = 9$ , also $b = 3$
$Vertikale Transversalachse$ (da die Gleichung die Form $\frac{(y-k)^2}{a^2} - \frac{(x-h)^2}{b^2} = 1$ hat)

Für eine Hyperbel mit Mittelpunkt $(h,k)$ und vertikaler Transversalachse gelten die Asymptotengleichungen:

y - k = \pm \frac{a}{b}(x - h)

Einsetzen liefert:

y - (-1) = \pm \frac{2}{3}(x - 2)

Die Asymptotengleichungen lauten also:

y = -1 + \frac{2}{3}(x - 2)