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Der senkrechte Umriss eines Kühlturms erinnert oft an eine Hyperbel. Auch die kegelförmige Stoßwelle eines Überschallflugzeugs kann dort, wo sie auf den Boden trifft, eine hyperbolische Kurve bilden. Diese Beispiele geben uns ein erstes Bild der Kurve.
Geometrisch entsteht eine Hyperbel, wenn eine Ebene beide Hälften eines Doppelkegels schneidet. Anders als die geschlossene Ellipse hat sie zwei getrennte Äste, die sich in entgegengesetzte Richtungen öffnen.
Eine Hyperbel ist die Ortskurve aller Punkte, für die der Betrag der Differenz der Abstände zu zwei festen Punkten konstant ist. Diese beiden festen Punkte heißen Brennpunkte. Für jeden Punkt auf der Hyperbel gilt . Bei einer Ellipse ist dagegen die Summe der Abstände konstant: .
Die Darstellung zeigt beide Äste, die beiden Brennpunkte und einen Punkt auf der Kurve. Die beiden Strecken haben die Längen und . Wenn auf einem der Äste wandert, ändern sich beide Längen, ihr absoluter Unterschied bleibt jedoch .
Bevor wir die Formeln verwenden, betrachten wir die Teile, die Form und Lage der Kurve bestimmen.
Die Grafik lässt sich anhand von fünf Merkmalen lesen:
Das Zentrum der Hyperbel ist der Mittelpunkt zwischen den beiden Brennpunkten und wird normalerweise mit bezeichnet.
Brennpunkte ( und ) sind die beiden festen Punkte in der Definition einer Hyperbel. Bezeichnet den Abstand vom Mittelpunkt zu einem Brennpunkt, dann beträgt der Abstand zwischen beiden Brennpunkten .
Scheitelpunkte ( und ) sind die Punkte der beiden Äste, die dem Mittelpunkt am nächsten liegen. Beide liegen auf der Transversalachse.
Transversalachse ist die Strecke durch den Mittelpunkt, deren Endpunkte die beiden Scheitelpunkte sind. Die Brennpunkte liegen auf der Geraden, die diese Strecke enthält.
Asymptoten sind Linien, denen sich die Äste der Hyperbel nähern, wenn sie sich ins Unendliche erstrecken. Die Hyperbel berührt nie ihre Asymptoten, aber je weiter sie vom Zentrum entfernt ist, desto näher kommt die Kurve den Asymptotenlinien.
Der Hauptunterschied zwischen einer Hyperbel und einer Ellipse: Eine Hyperbel hat Asymptoten und besteht aus zwei separaten Zweigen, während eine Ellipse eine geschlossene Kurve ohne Asymptoten ist.
Die Standardgleichung hängt von der Öffnungsrichtung der Äste und von der Lage des Mittelpunkts ab. Wir betrachten zwei Fälle.
Liegt der Mittelpunkt der Hyperbel bei , gibt es zwei mögliche Orientierungen:
Wenn die Transversalachse parallel zur -Achse verläuft, lautet die Gleichung der Hyperbel:
Die entsprechende vertikale Grafik ist unten dargestellt:
Wenn die Transversalachse parallel zur -Achse verläuft, lautet die Gleichung der Hyperbel:
Liegt der Mittelpunkt der Hyperbel nicht im Ursprung, sondern im Punkt , lautet die Gleichung:
Die drei Parameter jeder Hyperbel erfüllen:
Dabei gilt:
Diese Beziehung unterscheidet sich von einer Ellipse, die verwendet.
Exzentrizität einer Hyperbel ist definiert als:
Die Exzentrizität einer Hyperbel erfüllt stets , denn aus folgt . Genauer gilt . Mit wachsendem wächst daher auch das Verhältnis , das zugleich die Steigungen der Asymptoten bestimmt. Zum Vergleich: Ein Kreis hat , eine Ellipse hat , eine Parabel hat und eine Hyperbel hat .
Asymptotengleichungen für eine Hyperbel mit Mittelpunkt bei :
Die Asymptoten beschreiben die Grenzrichtungen der beiden Äste. Mit wachsendem Abstand vom Mittelpunkt nähert sich jeder Ast einer Asymptote, ohne sie zu schneiden.
Bestimme die Gleichung einer Hyperbel mit dem Mittelpunkt , den Scheitelpunkten und den Brennpunkten .
Gegeben ist die Hyperbel . Bestimme die Brennpunkte, die Exzentrizität und die Gleichungen der Asymptoten.
Eine Hyperbel hat den Mittelpunkt , eine horizontale Transversalachse sowie und . Bestimme ihre Gleichung.
Bestimme die Gleichungen der Asymptoten für .
Lösung:
Gegeben sind:
Mit erhalten wir:
Gleichung einer Hyperbel mit horizontaler Transversalachse:
Lösung:
Aus der Gleichung :
Lösung:
Gegeben sind:
Lösung:
Aus der Gleichung :
Da die Gleichung die Form hat, ist die Transversalachse horizontal.
Zuerst bestimmen wir :
Koordinaten der Brennpunkte:
Exzentrizität:
Asymptotengleichungen (horizontale Transversalachse):
Gleichung einer Hyperbel mit Mittelpunkt und horizontaler Transversalachse:
Einsetzen liefert:
Für eine Hyperbel mit Mittelpunkt und vertikaler Transversalachse gelten die Asymptotengleichungen:
Einsetzen liefert:
Die Asymptotengleichungen lauten also:
