Tangente an Kegelschnitte

Eine doppelte Lösung kennzeichnet die Tangente

Ein Lineal kann so an eine glatte Kurve gelegt werden, dass es sie in der Nähe der Berührstelle nicht schneidet. Die Gerade entlang des Lineals beschreibt dort eine $Tangente$ .

Wenn das Einsetzen einer Geraden in einen Kegelschnitt eine quadratische Gleichung ergibt, kennzeichnet eine $doppelte Lösung$ die Tangente. Zwei verschiedene Lösungen bedeuten zwei Schnittpunkte. Prüfe vor dem Einsatz der Diskriminante den quadratischen Koeffizienten. Eine Gerade parallel zu einer Hyperbelasymptote kann zum Beispiel eine lineare Gleichung ergeben.

Die gegebenen Informationen bestimmen das Verfahren: Ein bekannter Berührpunkt führt zur Punktform, eine bekannte Steigung zu einer Geraden mit unbekanntem Achsenabschnitt und ein äußerer Punkt zu einer Geradenschar durch diesen Punkt.

Punkt auf der Kurve

Ist der $Berührpunkt bekannt$ , liefert die implizite Differentiation dort die Steigung. Zusammen mit der Punkt-Steigungs-Form ergibt sich daraus unmittelbar eine Punktform der Tangente. Fehlt der Berührpunkt, brauchst du einen anderen Weg, weil dann sowohl der Punkt als auch die Steigung unbekannt sind.

Punktform aus impliziter Differentiation

Für einen Punkt $T(x_1, y_1)$ auf einem Kegelschnitt ersetzt die entstehende Punktform jede quadrierte Koordinate durch ein Produkt mit der entsprechenden Koordinate des Berührpunkts. Lineare Terme werden symmetrisch auf den allgemeinen Punkt und den Berührpunkt verteilt. Diese Form fasst die Ableitungsrechnung zusammen, ersetzt aber nicht die Prüfung, ob $T$ $tatsächlich auf der Kurve liegt$ .

Für die Parabel $y^2 = 4px$ am Berührpunkt $T(x_1, y_1)$ lautet die Tangentengleichung:

yy_1 = 2p(x + x_1)

Für die Herleitung setzen wir $p \ne 0$ und $y_1 \ne 0$ voraus. Leite die Parabelgleichung nach $x$ ab.

2y\frac{dy}{dx}=4p\quad\Longrightarrow\quad m=\frac{2p}{y_1}

Multipliziere die Punkt-Steigungs-Form mit $y_1$ . Nutze dann $y_1^2=4px_1$ , denn der Berührpunkt liegt auf der Parabel.

\begin{aligned}y-y_1&=\frac{2p}{y_1}(x-x_1)\\yy_1-y_1^2&=2px-2px_1\\yy_1-4px_1&=2px-2px_1\\yy_1&=2p(x+x_1)\end{aligned}

Im Scheitelpunkt $(0,0)$ ist die Steigung bezüglich der horizontalen Achse nicht definiert. Die Punktform liefert trotzdem die vertikale Tangente $x=0$ . Für das Beispiel $(2,4)$ ergibt die Punktprobe $4^2=8(2)=16$ .

Wir wenden die Formel auf die Parabel $y^2 = 8x$ im Punkt $(2, 4)$ an.

Aus der Parabel $y^2 = 8x$ kennen wir $4p = 8$ also $p = 2$ . Die Tangente am Punkt $(2, 4)$ ist:

y \cdot 4 = 2 \cdot 2 \cdot (x + 2)

Die Punktform gilt erst, nachdem der angegebene Punkt auf dem Kegelschnitt überprüft wurde. Sie fasst die Ableitungsrechnung in einer wiederverwendbaren algebraischen Ersetzung zusammen.

Vorgegebene Steigung

Manchmal kennen wir den Tangentenpunkt nicht, aber wir kennen die $Steigung$ oder den Gradienten der Tangente. In solchen Fällen setzen wir die Geradengleichung mit der Steigung $m$ in die Kegelschnittgleichung ein.

Als Beispiel bestimmen wir die Tangenten an $4x^2 - 9y^2 = 36$ , die senkrecht zu $x + 4y + 10 = 0$ stehen.

Zuerst bestimmen wir die gesuchte Tangentensteigung. Die Gerade $x + 4y + 10 = 0$ hat die Steigung $m_g = -\frac{1}{4}$ . Jede dazu senkrechte Tangente hat daher die Steigung $m_s = 4$ .

Eine Gerade mit der Steigung $m$ hat die Form $y = mx + c$ . Wir setzen sie in die Hyperbelgleichung ein:

4x^2 - 9(4x + c)^2 = 36

Damit $y=4x+c$ eine Tangente an die Hyperbel ist, muss die Gleichung nach der Substitution eine doppelte Lösung besitzen. Ihre Diskriminante muss daher null sein:

\begin{aligned} D &= (-72c)^2 - 4(-140)(-9c^2-36) \\ &= 0 \end{aligned}

Damit lauten die beiden Tangenten $y = 4x + 2\sqrt{35}$ und $y = 4x - 2\sqrt{35}$ .

Tangenten durch einen äußeren Punkt

Je nach Kegelschnitt und Lage des Punktes können durch einen gegebenen Punkt null, eine oder zwei reelle Tangenten verlaufen. Im folgenden Beispiel sind es zwei. Die Konstruktion von einem Punkt außerhalb eines Kreises ist ein vertrauter Spezialfall.

Durch den Punkt $A(2, 5)$ verlaufen zwei verschiedene Tangenten an die Parabel $y^2 = 8x$ .

Für einen äußeren Punkt liefert die Polare die $Berührsehne$ , also die Verbindung der beiden Berührpunkte. Sie ist nicht selbst eine der Tangenten. Für $y^2 = 8x$ und $A(2,5)$ lautet die Polare:

yy_1 = 4(x + x_1)

Wir setzen $x_1 = 2$ und $y_1 = 5$ ein:

5y = 4(x + 2)

Jetzt setzen wir in die Parabelgleichung ein, um die Tangentenpunkte zu finden:

\left(\frac{4x + 8}{5}\right)^2 = 8x

Mit der quadratischen Formel erhalten wir $x_1 = \frac{1}{2}$ und $x_2 = 8$ . Die Berührpunkte sind $(\frac{1}{2}, 2)$ und $(8, 8)$ . Die Geraden von diesen Punkten zu $A(2,5)$ sind die beiden Tangenten $y = 2x + 1$ und $y = \frac{1}{2}x + 4$ .

Zwei Tangenten und die Berührsehne

Eine Parabel, zwei Berührpunkte und ihre Verbindungsgerade.

Vergleiche die $zwei Geraden durch den äußeren Punkt$ mit der rosa Berührsehne. Beide Tangenten verlaufen durch $A$ . Die Sehne verbindet dagegen $T_1$ mit $T_2$ und schneidet die Parabel in diesen beiden Punkten.

Tangentengleichungen für jeden Kegelschnitt

Die Tabelle fasst Tangentengleichungen in $Punktform$ zusammen.

Kegelschnitt	Tangentengleichung
$y^2 = 4px$	$yy_1 = 2p(x + x_1)$
$x^2 = 4py$	$xx_1 = 2p(y + y_1)$
$(x - h)^2 = 4p(y - k)$	$(x - h)(x_1 - h) = 2p((y - k) + (y_1 - k))$
$(y - k)^2 = 4p(x - h)$	$(y - k)(y_1 - k) = 2p((x - h) + (x_1 - h))$
$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$	$\frac{xx_1}{a^2} + \frac{yy_1}{b^2} = 1$
$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$	$\frac{xx_1}{a^2} - \frac{yy_1}{b^2} = 1$
$\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$	$\frac{yy_1}{a^2} - \frac{xx_1}{b^2} = 1$
$\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$	$\frac{(x-h)(x_1-h)}{a^2} + \frac{(y-k)(y_1-k)}{b^2} = 1$
$\frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$	$\frac{(x-h)(x_1-h)}{a^2} - \frac{(y-k)(y_1-k)}{b^2} = 1$
$\frac{(y-k)^2}{a^2} - \frac{(x-h)^2}{b^2} = 1$	$\frac{(y-k)(y_1-k)}{a^2} - \frac{(x-h)(x_1-h)}{b^2} = 1$

Diese Formeln sind die ableitungsbasierten Punktformen für häufige Standardkegelschnitte. Prüfe zuerst, ob der angegebene Berührpunkt tatsächlich auf dem Kegelschnitt liegt.

Übungen

Wähle das Verfahren anhand der Angaben: $Berührpunkt, Steigung oder äußerer Punkt$ . Prüfe die Berührpunkte auf der Kurve und kontrolliere, ob jede berechnete Gerade die Bedingung der Aufgabe erfüllt.

Bestimme die Tangentengleichung der Parabel $y^2 = 12x$ im Punkt $(3, 6)$ .
Bestimme die Tangenten an $4x^2 - 9y^2 = 36$ , die senkrecht zur Geraden $x + 4y + 10 = 0$ stehen.
Bestimme die Tangenten an $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ , die durch $A(1, 3)$ verlaufen.
Bestimme die Tangenten an $y^2 = 8x$ , die durch $A(2, 5)$ verlaufen.

Ausführliche Lösungen

$Lösung 1$ :

Gegeben: Parabel $y^2 = 12x$ mit Tangentenpunkt $(3, 6)$ .

Aus Gleichung $y^2 = 12x$ erhalten wir $4p = 12$ , also $p = 3$ .

Wir verwenden die $Tangentenform der Parabel$ :

yy_1 = 2p(x + x_1)

Die Tangentengleichung lautet also $y = x + 3$ .

$Lösung 2$ :

Gegeben: Hyperbel $4x^2 - 9y^2 = 36$ oder $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1$ .

Die Linie $x + 4y + 10 = 0$ hat die Steigung $m = -\frac{1}{4}$ .

Da die Tangente $senkrecht$ zu dieser Linie verläuft, beträgt der Tangentengradient:

m_s = -\frac{1}{m} = -\frac{1}{-\frac{1}{4}} = 4

Hyperbel-Tangentenlinienformel mit Steigung $m$ :

y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2}

Diese Formel setzt $a^2m^2-b^2>0$ voraus. Ist der Ausdruck null, entsteht eine Asymptote und keine Tangente.

Mit $a^2 = 9$ , $b^2 = 4$ und $m = 4$ :

y = 4x \pm \sqrt{9 \cdot 16 - 4}

Die Tangentengleichungen lauten also $y = 4x + 2\sqrt{35}$ oder $y = 4x - 2\sqrt{35}$ .

$Lösung 3$ :

Gegeben: Ellipse $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ und Punkt $A(1, 3)$ .

Zuerst prüfen wir, ob $A(1, 3)$ auf der Ellipse liegt:

\begin{aligned} \frac{1^2}{9} + \frac{3^2}{4} &= \frac{1}{9} + \frac{9}{4} \\ &= \frac{4 + 81}{36} \\ &= \frac{85}{36} > 1 \end{aligned}

Da $\frac{85}{36} > 1$ liegt der Punkt $A$ außerhalb der Ellipse.

Wir schreiben eine Gerade durch $A(1,3)$ mit der Steigung $m$ :

y-3=m(x-1)

Einsetzen in die Ellipse und die Bedingung einer $verschwindenden Diskriminante$ ergeben:

4x^2 + 9(mx+3-m)^2 = 36

Wir setzen beide Steigungen in die Punkt-Steigungs-Form ein:

\begin{aligned} &y-3=-\frac{5}{4}(x-1) \\ &\Longrightarrow \\ &5x+4y-17=0 \end{aligned}

Die beiden Tangenten sind also $5x+4y-17=0$ und $x-2y+5=0$ .

$Lösung 4$ :

Gegeben: Parabel $y^2 = 8x$ und Punkt $A(2, 5)$ .

Zuerst prüfen wir, ob $A(2, 5)$ auf der Parabel liegt:

5^2 = 25 \neq 8 \cdot 2 = 16

Der Punkt $A$ liegt außerhalb der Parabel.

Wir verwenden die $Polare der Parabel$ mit $p = 2$ :

yy_1 = 4(x + x_1)

Wir setzen $x_1 = 2$ und $y_1 = 5$ ein:

5y = 4(x + 2)

Einsetzen in die Parabelgleichung ergibt:

\left(\frac{4x + 8}{5}\right)^2 = 8x

Mit der quadratischen Formel folgt:

\begin{aligned} x &= \frac{17 \pm \sqrt{289 - 64}}{4} \\ &= \frac{17 \pm \sqrt{225}}{4} \\ &= \frac{17 \pm 15}{4} \end{aligned}

Also $x_1 = \frac{1}{2}$ und $x_2 = 8$ .

Die Tangentenpunkte liegen bei $(\frac{1}{2}, 2)$ und $(8, 8)$ .

Tangentengleichung durch $(\frac{1}{2}, 2)$ :

\begin{aligned} y - 2 &= \frac{2 - 5}{\frac{1}{2} - 2}(x - \frac{1}{2}) \\ &= \frac{-3}{-\frac{3}{2}}(x - \frac{1}{2}) \\ &= 2(x - \frac{1}{2}) \end{aligned}

Also $y = 2x + 1$ .

Tangentengleichung durch $(8, 8)$ :

\begin{aligned} y - 8 &= \frac{8 - 5}{8 - 2}(x - 8) \\ &= \frac{3}{6}(x - 8) \\ &= \frac{1}{2}(x - 8) \end{aligned}

Also $y = \frac{1}{2}x + 4$ .

Die Tangentengleichungen lauten $y = 2x + 1$ und $y = \frac{1}{2}x + 4$ .