Position zweier Kreise

Mittelpunktsabstand und Radien miteinander vergleichen

Zwei verschiedene Kreislinien können sich in zwei Punkten schneiden, sich in einem Punkt berühren oder keinen gemeinsamen Punkt haben. Sind Mittelpunkt und Radius gleich, fallen die Kreise zusammen. Dann sind alle Punkte der Kreislinie gemeinsam.

In der analytischen Geometrie reichen die Mittelpunkte und Radien aus, um die Lage eindeutig zu bestimmen. Vergleiche den $Mittelpunktsabstand$ mit der Summe und dem absoluten Unterschied der Radien.

Mit demselben Vergleich lässt sich prüfen, ob sich zwei kreisförmige Bereiche überlappen, berühren oder einen Abstand voneinander haben, etwa in Abdeckungskarten oder geometrischen Entwürfen.

Sich schneidende Kreise

Zwei Kreise $schneiden sich$ , wenn sie genau zwei gemeinsame Punkte haben. Anschaulich sieht das aus wie zwei Ringe, die sich überlappen.

Zwei sich schneidende Kreise

Die beiden Kreislinien haben genau zwei gemeinsame Punkte.

Für zwei Kreise mit den Radien $r_1$ und $r_2$ sowie dem Mittelpunktabstand $d$ gilt die Schnittbedingung:

|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2

Die beiden strengen Grenzen erklären diese Bedingung:

$Obergrenze$ : Bei $r_1 + r_2$ berühren sich die Kreise von außen
$Untere Grenze$ : Bei $|r_1 - r_2|>0$ berührt der kleinere Kreis den größeren von innen
$Zwischen den Grenzen$ : Die Kreislinien schneiden sich in zwei Punkten

Sich berührende Kreise

Zwei Kreise berühren sich tangential, wenn sie $genau einen gemeinsamen Punkt$ haben.

Von außen berührende Kreise

Die beiden Kreislinien haben genau einen gemeinsamen Punkt.

Für zwei nicht identische Kreise gibt es zwei Berührungsfälle:

$Äußere Berührung$ liegt vor, wenn $d = r_1 + r_2$ gilt. Die Kreise liegen außerhalb voneinander und berühren sich in einem Punkt.
$Innere Berührung$ liegt vor, wenn $d = |r_1 - r_2| > 0$ gilt. Der kleinere Kreis liegt im größeren und berührt ihn in einem Punkt.

Das nächste Diagramm zeigt eine innere Berührung:

Von innen berührende Kreise

Der kleinere Kreis liegt im größeren und beide Kreislinien haben einen gemeinsamen Punkt.

Getrennte Kreise

Zwei Kreise liegen außen getrennt, wenn sich weder ihre Kreislinien noch ihre Kreisflächen treffen.

Zwei getrennte Kreise

Beide Kreise liegen weit auseinander und berühren sich nicht.

Der getrennte Zustand liegt vor, wenn der Abstand zwischen den Mittelpunkten größer ist als die Summe beider Radien:

d > r_1 + r_2

In diesem Fall gehört kein Punkt zu beiden Kreisflächen.

Ein Kreis kann $ohne Berührung innerhalb eines anderen$ liegen, obwohl die Mittelpunkte verschieden sind. Im Diagramm beträgt der größere Radius $4$ , der kleinere Radius $1$ und der Mittelpunktsabstand $1$ .

Ineinanderliegende Kreise ohne Berührung

Die Mittelpunkte unterscheiden sich und die Kreislinien treffen sich nicht.

Wegen $0<1<4-1$ liegt der kleine Kreis vollständig im großen. Ihre Mittelpunkte sind verschieden, deshalb sind die Kreise nicht konzentrisch.

Konzentrische und zusammenfallende Kreise

$Konzentrische Kreise$ haben denselben Mittelpunkt, aber unterschiedliche Radien, wie die Kreislinien auf einer Zielscheibe.

Konzentrische Kreise

Zwei Kreise mit demselben Mittelpunkt, aber unterschiedlichen Radien.

Bei konzentrischen Kreisen beträgt der Abstand zwischen den Mittelpunkten Null ( $d = 0$ ), aber die Radien sind unterschiedlich ( $r_1 \ne r_2$ ).

$Identische Kreise$ sind ein Sonderfall: Beide Kreise haben denselben Mittelpunkt und denselben Radius. Deshalb liegen sie vollständig aufeinander und erscheinen als ein einziger Kreis.

Zwei Kreise sind identisch, wenn:

d = 0

Die Lage bestimmen

Um zwei Kreise einzuordnen, berechnen wir ihren Mittelpunktabstand und vergleichen ihn mit der Summe und dem absoluten Unterschied der Radien.

Der erste Kreis habe den Mittelpunkt $(x_1, y_1)$ und den Radius $r_1$ . Der zweite Kreis habe den Mittelpunkt $(x_2, y_2)$ und den Radius $r_2$ .

Der Abstand zwischen den Mittelpunkten wird nach folgender Formel berechnet:

d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

Unter der Annahme positiver Radien erfassen die folgenden Bedingungen alle Möglichkeiten, ohne sich zu überschneiden:

$Identisch$ : $d = 0$ und $r_1 = r_2$ (dieselbe Kreislinie)
$Konzentrisch, aber verschieden$ : $d = 0$ und $r_1 \ne r_2$ (gleicher Mittelpunkt, unterschiedliche Radien)
$Ineinanderliegend, getrennt und mit verschiedenen Mittelpunkten$ : $0 < d < |r_1-r_2|$ (ein Kreis liegt vollständig im anderen)
$Innerlich tangential$ : $d = |r_1-r_2| > 0$ (ein innerer Berührpunkt)
$Sich schneidend$ : $|r_1-r_2| < d < r_1+r_2$ (zwei gemeinsame Punkte)
$Äußerlich tangential$ : $d = r_1+r_2$ (ein äußerer Berührpunkt)
$Äußerlich getrennt$ : $d > r_1+r_2$ (die beiden Kreisscheiben treffen sich nicht)

Die Lage zweier Kreise aus ihren Gleichungen bestimmen

Wir bestimmen die Lage der Kreise mit den Gleichungen $x^2 + y^2 = 9$ und $x^2 + y^2 - 6x - 8y = 0$ .

$Schritt 1$ : Mittelpunkt und Radius beider Kreise bestimmen.

Erster Kreis: Mittelpunkt $(0, 0)$ , Radius $r_1 = 3$

Für den zweiten Kreis vervollständigen wir das Quadrat:

x^2 + y^2 - 6x - 8y = 0

Zweiter Kreis: Mittelpunkt $(3, 4)$ , Radius $r_2 = 5$

$Schritt 2$ : Abstand zwischen den Mittelpunkten berechnen.

\begin{aligned} d &= \sqrt{(3-0)^2 + (4-0)^2} \\ &= \sqrt{9 + 16} \\ &= \sqrt{25} \\ &= 5 \end{aligned}

$Schritt 3$ : Mit Positionsbedingungen vergleichen.

r_1 + r_2 = 3 + 5 = 8

Da $2 < 5 < 8$ gilt, $schneiden sich die beiden Kreise$ .