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Besonders wichtig ist die Reflexionseigenschaft. Strahlen, die parallel zur Symmetrieachse eintreffen, werden durch einen parabolischen Spiegel zum Brennpunkt reflektiert. Umgekehrt verlassen Strahlen aus dem Brennpunkt den Spiegel parallel zur Achse. Deshalb eignen sich Parabeln zum Sammeln oder gezielten Aussenden von Energie.
Eine Parabel besteht aus Punkten mit gleichen Abständen zu Brennpunkt und Leitlinie. Der Brennpunkt ist ein fester Punkt außerhalb der Leitlinie, die Leitlinie eine feste Gerade. Den Abstand zu einer Geraden misst du immer senkrecht zu dieser Geraden.
Im ersten Graphen nehmen wir , den Brennpunkt und den Lotfußpunkt . Die beiden Strecken zeigen gleiche Abstände.
Für die allgemeine Gleichung legen wir den Brennpunkt auf und die Leitlinie auf , mit . Gleiche Abstände für bedeuten:
Quadriere die beiden nicht negativen Abstände. Wenn du gleiche Terme kürzt, bleibt die horizontale Standardform.
Vertausche die Rollen der Koordinaten. Dann liegt der Brennpunkt bei und die Leitlinie lautet . Daraus ergibt sich die vertikale Form .
Zunächst betrachten wir eine Parabel mit Scheitelpunkt im Ursprung . Je nach Öffnungsrichtung entstehen vier Standardformen.
Die beiden achsenparallelen Standardgleichungen verwenden einen vorzeichenbehafteten Parameter :
Für öffnet sich die Parabel nach rechts oder oben, für nach links oder unten. Der Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt ist . Je größer ist, desto weiter öffnet sich die Parabel.
Für die nach rechts geöffnete Parabel gilt beispielsweise:
Eine Parabel muss nicht im Ursprung liegen. Befindet sich ihr Scheitelpunkt bei , verwenden wir die verschobene Standardform.
Für einen Scheitelpunkt lauten die beiden Grundformen:
Für die vertikale Parabel gilt:
Für die horizontale Parabel gilt:
Das Vorzeichen von bestimmt die Öffnungsrichtung. In der horizontalen Form bedeutet ein positives Vorzeichen rechts und ein negatives links. In der vertikalen Form bedeutet ein positives Vorzeichen oben und ein negatives unten.
Aus einer Parabelgleichung lassen sich Scheitelpunkt, Brennpunkt, Leitlinie und Öffnungsrichtung systematisch bestimmen. Zuerst erkennen wir die Ausrichtung der Parabel:
Im folgenden Beispiel wird die Gleichung durch quadratische Ergänzung in die Standardform gebracht. Aus der Standardform bestimmen wir Scheitelpunkt, Brennpunkt, Leitlinie und Symmetrieachse.
Beispiel: Gegeben sei eine Parabel mit der Gleichung
Durch quadratische Ergänzung bringen wir die Gleichung in Standardform:
Aus lesen wir ab:
Damit stehen die Parabelelemente fest:
Aus dieser Analyse erhalten wir:
Die Parabel öffnet sich nach oben, denn .
Zwei Aufgaben verbinden nun die Standardform mit Scheitelpunkt und Brennpunkt.
Aufgabe 1: Bestimme die Gleichung einer Parabel mit Scheitelpunkt und Brennpunkt .
Lösung:
Da Scheitelpunkt und Fokus die gleiche -Koordinate haben, ist diese Parabel horizontal.
Aus der Brennpunktbedingung folgt . Mit erhalten wir:
Die Gleichung für eine horizontale Parabel lautet :
Aufgabe 2: Bestimme für die Parabel die Koordinaten von Scheitelpunkt und Brennpunkt.
Lösung:
Wir ergänzen den Term in zu einem vollständigen Quadrat:
Aus lesen wir ab:
Damit folgt:
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