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Wenn wir den Luftwiderstand vernachlässigen und die Erdbeschleunigung als konstant annehmen, verläuft die Flugbahn eines Basketballs parabelförmig. Der Wasserbogen eines Springbrunnens vermittelt ein ähnliches erstes Bild.
Ihre Form ist auch technisch nützlich. Parabolantennen bündeln Signale, Scheinwerferreflektoren lenken Licht und parabolische Bögen erscheinen in Brücken und moderner Architektur.
Besonders wichtig ist die Reflexionseigenschaft. Strahlen, die parallel zur Symmetrieachse eintreffen, werden durch einen parabolischen Spiegel zum Brennpunkt reflektiert. Umgekehrt verlassen Strahlen aus dem Brennpunkt den Spiegel parallel zur Achse. Deshalb eignen sich Parabeln zum Sammeln oder gezielten Aussenden von Energie.
Mathematisch ist eine Parabel die Menge aller Punkte, die von einem festen Punkt und einer festen Geraden den gleichen Abstand haben. Der feste Punkt heißt Brennpunkt, die feste Gerade Leitlinie.
Beginnen wir also mit einem Brennpunkt und einer Leitlinie. Jeder Punkt, dessen Abstand zum Brennpunkt genauso groß ist wie sein senkrechter Abstand zur Leitlinie, liegt auf der Parabel.
Diese Definition gilt unabhängig davon, wo die Kurve liegt und in welche Richtung sie geöffnet ist. Entscheidend bleibt allein die Gleichheit der beiden Abstände.
Für jeden Parabelpunkt ist der Abstand zum Brennpunkt genauso groß wie der senkrechte Abstand zur Leitlinie.
Zunächst betrachten wir eine Parabel mit Scheitelpunkt im Ursprung . Je nach Öffnungsrichtung entstehen vier Standardformen.
Die beiden achsenparallelen Standardgleichungen verwenden einen vorzeichenbehafteten Parameter :
Für öffnet sich die Parabel nach rechts oder oben, für nach links oder unten. Der Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt ist . Je größer ist, desto weiter öffnet sich die Parabel.
Für die nach rechts geöffnete Parabel gilt beispielsweise:
Eine Parabel muss nicht im Ursprung liegen. Befindet sich ihr Scheitelpunkt bei , verwenden wir die verschobene Standardform.
Für einen Scheitelpunkt lauten die beiden Grundformen:
Für die vertikale Parabel gilt:
Für die horizontale Parabel gilt:
Das Vorzeichen von bestimmt die Öffnungsrichtung. In der horizontalen Form bedeutet ein positives Vorzeichen rechts und ein negatives links. In der vertikalen Form bedeutet ein positives Vorzeichen oben und ein negatives unten.
Aus einer Parabelgleichung lassen sich Scheitelpunkt, Brennpunkt, Leitlinie und Öffnungsrichtung systematisch bestimmen. Zuerst erkennen wir die Ausrichtung der Parabel:
Das folgende Beispiel zeigt das vollständige Vorgehen.
Beispiel: Gegeben sei eine Parabel mit der Gleichung
Durch quadratische Ergänzung bringen wir die Gleichung in Standardform:
Aus lesen wir ab:
Damit stehen die Parabelelemente fest:
Aus dieser Analyse erhalten wir:
Zwei Aufgaben verbinden nun die Standardform mit Scheitelpunkt und Brennpunkt.
Aufgabe : Bestimme die Gleichung einer Parabel mit Scheitelpunkt und Brennpunkt .
Lösung:
Da Scheitelpunkt und Fokus die gleiche -Koordinate haben, ist diese Parabel horizontal.
Aus der Brennpunktbedingung folgt . Mit erhalten wir:
Die Gleichung für eine horizontale Parabel lautet :
Aufgabe : Bestimme für die Parabel die Koordinaten von Scheitelpunkt und Brennpunkt.
Lösung:
Wir ergänzen den Term in zu einem vollständigen Quadrat:
Aus lesen wir ab:
Damit folgt:
