Ein Lineal kann so an eine glatte Kurve gelegt werden, dass es sie in der Nähe der Berührstelle nicht schneidet. Die Gerade entlang des Lineals beschreibt dort eine Tangente.
Wenn das Einsetzen einer Geraden in einen Kegelschnitt eine quadratische Gleichung ergibt, kennzeichnet eine die Tangente. Zwei verschiedene Lösungen bedeuten zwei Schnittpunkte. Prüfe vor dem Einsatz der Diskriminante den quadratischen Koeffizienten. Eine Gerade parallel zu einer Hyperbelasymptote kann zum Beispiel eine lineare Gleichung ergeben.
doppelte Lösung
Die gegebenen Informationen bestimmen das Verfahren: Ein bekannter Berührpunkt führt zur Punktform, eine bekannte Steigung zu einer Geraden mit unbekanntem Achsenabschnitt und ein äußerer Punkt zu einer Geradenschar durch diesen Punkt.
Ist der Berührpunkt bekannt, liefert die implizite Differentiation dort die Steigung. Zusammen mit der Punkt-Steigungs-Form ergibt sich daraus unmittelbar eine Punktform der Tangente. Fehlt der Berührpunkt, brauchst du einen anderen Weg, weil dann sowohl der Punkt als auch die Steigung unbekannt sind.
Für einen Punkt T(x1,y1) auf einem Kegelschnitt ersetzt die entstehende Punktform jede quadrierte Koordinate durch ein Produkt mit der entsprechenden Koordinate des Berührpunkts. Lineare Terme werden symmetrisch auf den allgemeinen Punkt und den Berührpunkt verteilt. Diese Form fasst die Ableitungsrechnung zusammen, ersetzt aber nicht die Prüfung, ob Ttatsächlich auf der Kurve liegt.
Für die Parabel y2=4px am Berührpunkt T(x1,y1) lautet die Tangentengleichung:
yy1=2p(x+x1)
Für die Herleitung setzen wir p=0 und y1=0 voraus. Leite die Parabelgleichung nach x ab.
2ydxdy=4p⟹m=y12p
Multipliziere die Punkt-Steigungs-Form mit y1. Nutze dann y12=4px1, denn der Berührpunkt liegt auf der Parabel.
Im Scheitelpunkt (0,0) ist die Steigung bezüglich der horizontalen Achse nicht definiert. Die Punktform liefert trotzdem die vertikale Tangente x=0. Für das Beispiel (2,4) ergibt die Punktprobe 42=8(2)=16.
Wir wenden die Formel auf die Parabel y2=8x im Punkt (2,4) an.
Aus der Parabel y2=8x kennen wir 4p=8 also p=2. Die Tangente am Punkt (2,4) ist:
y⋅4=2⋅2⋅(x+2)
4y=4(x+2)
y=x+2
Die Punktform gilt erst, nachdem der angegebene Punkt auf dem Kegelschnitt überprüft wurde. Sie fasst die Ableitungsrechnung in einer wiederverwendbaren algebraischen Ersetzung zusammen.
Manchmal kennen wir den Tangentenpunkt nicht, aber wir kennen die Steigung oder den Gradienten der Tangente. In solchen Fällen setzen wir die Geradengleichung mit der Steigung m in die Kegelschnittgleichung ein.
Als Beispiel bestimmen wir die Tangenten an 4x2−9y2=36, die senkrecht zu x+4y+10=0 stehen.
Zuerst bestimmen wir die gesuchte Tangentensteigung. Die Gerade x+4y+10=0 hat die Steigung mg=−41. Jede dazu senkrechte Tangente hat daher die Steigung ms=4.
Eine Gerade mit der Steigung m hat die Form y=mx+c. Wir setzen sie in die Hyperbelgleichung ein:
4x2−9(4x+c)2=36
4x2−9(16x2+8cx+c2)=36
−140x2−72cx−9c2−36=0
Damit y=4x+c eine Tangente an die Hyperbel ist, muss die Gleichung nach der Substitution eine doppelte Lösung besitzen. Ihre Diskriminante muss daher null sein:
D=(−72c)2−4(−140)(−9c2−36)=0
5184c2−5040c2−20160=0
144c2=20160
c=±235
Damit lauten die beiden Tangenten y=4x+235 und y=4x−235.
Je nach Kegelschnitt und Lage des Punktes können durch einen gegebenen Punkt null, eine oder zwei reelle Tangenten verlaufen. Im folgenden Beispiel sind es zwei. Die Konstruktion von einem Punkt außerhalb eines Kreises ist ein vertrauter Spezialfall.
Durch den Punkt A(2,5) verlaufen zwei verschiedene Tangenten an die Parabel y2=8x.
Für einen äußeren Punkt liefert die Polare die Berührsehne, also die Verbindung der beiden Berührpunkte. Sie ist nicht selbst eine der Tangenten. Für y2=8x und A(2,5) lautet die Polare:
yy1=4(x+x1)
Wir setzen x1=2 und y1=5 ein:
5y=4(x+2)
5y=4x+8
y=54x+8
Jetzt setzen wir in die Parabelgleichung ein, um die Tangentenpunkte zu finden:
(54x+8)2=8x
2516x2+64x+64=8x
16x2+64x+64=200x
16x2−136x+64=0
2x2−17x+8=0
Mit der quadratischen Formel erhalten wir x1=21 und x2=8. Die Berührpunkte sind (21,2) und (8,8). Die Geraden von diesen Punkten zu A(2,5) sind die beiden Tangenten y=2x+1 und y=21x+4.
Zwei Tangenten und die Berührsehne
Eine Parabel, zwei Berührpunkte und ihre Verbindungsgerade.
Vergleiche die zwei Geraden durch den äußeren Punkt mit der rosa Berührsehne. Beide Tangenten verlaufen durch A. Die Sehne verbindet dagegen T1 mit T2 und schneidet die Parabel in diesen beiden Punkten.
Die Tabelle fasst Tangentengleichungen in Punktform zusammen.
Kegelschnitt
Tangentengleichung
y2=4px
yy1=2p(x+x1)
x2=4py
xx1=2p(y+y1)
(x−h)2=4p(y−k)
(x−h)(x1−h)=2p((y−k)+(y1−k))
(y−k)2=4p(x−h)
(y−k)(y1−k)=2p((x−h)+(x1−h))
a2x2+b2y2=1
a2x2−b2y2=1
a2y2−b2x2=1
a2(x−h)2+b2(y−k)2=1
a2(x−h)2−b2(y−k)2=1
a2(y−k)2−b2(x−h)2=1
Diese Formeln sind die ableitungsbasierten Punktformen für häufige Standardkegelschnitte. Prüfe zuerst, ob der angegebene Berührpunkt tatsächlich auf dem Kegelschnitt liegt.
Wähle das Verfahren anhand der Angaben: Berührpunkt, Steigung oder äußerer Punkt. Prüfe die Berührpunkte auf der Kurve und kontrolliere, ob jede berechnete Gerade die Bedingung der Aufgabe erfüllt.
Bestimme die Tangentengleichung der Parabel y2=12x im Punkt (3,6).
Bestimme die Tangenten an 4x2−9y2=36, die senkrecht zur Geraden x+4y+10=0 stehen.
Bestimme die Tangenten an 9x2+4y2=1, die durch verlaufen.
Bestimme die Tangenten an y2=8x, die durch A(2,5) verlaufen.
