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Wir bestimmen die Gleichung dieser Geraden in drei Situationen: Der Berührpunkt ist bekannt, die Steigung ist bekannt oder die Tangente soll durch einen Punkt außerhalb des Kreises verlaufen.
Die geometrische Idee bleibt dabei gleich. Eine Tangente berührt den Kreis in genau einem Punkt. Der Radius zu diesem Punkt liefert entweder die senkrechte Richtung oder den benötigten Abstand.
Ist der Berührpunkt bekannt, prüfe zuerst, ob er wirklich auf dem Kreis liegt. Danach dient der Radius zu diesem Punkt als Normalenvektor der Tangente.
Für den Kreis und einen Berührpunkt auf dem Kreis gilt die Berührpunktform:
Warum funktioniert diese Formel? Der Radius hat den Richtungsvektor . Da die Tangente senkrecht auf steht, ist derselbe Vektor ein Normalenvektor der Tangente. Setzt man ein, erhält man . Die Gerade verläuft also tatsächlich durch den Berührpunkt.
Für den Kreis mit Berührpunkt wenden wir dieselbe Idee auf den Mittelpunkt an:
Diese Form nutzt den Radius direkt als Normalenvektor. Sie funktioniert auch bei einer vertikalen Tangente, für die keine endliche Steigung existiert.
Ist die Steigung bekannt, aber der Achsenabschnitt noch nicht, hilft die Abstandsbedingung: Der senkrechte Abstand vom Mittelpunkt zur Tangente ist gleich dem Radius.
Der Kreis sei und die Tangente habe die Steigung . Wir schreiben die Gerade als .
Die Punkt-Geraden-Abstandsformel liefert den Abstand des Mittelpunkts von der Geraden :
Bei einer Tangente muss dieser Abstand gleich dem Radius sein:
Aus der Betragsgleichung ergeben sich zwei Achsenabschnitte:
Damit lauten die beiden parallelen Tangenten:
Von einem Punkt außerhalb eines Kreises lassen sich genau zwei Tangenten ziehen. Haben beide eine endliche Steigung, können wir ihre Steigungen mit einer quadratischen Gleichung bestimmen.
Der äußere Punkt sei und der Kreis habe die Gleichung . Eine nicht vertikale Gerade durch hat die Steigung .
Ihre Gleichung lautet oder .
Setze diesen Ausdruck in die Kreisgleichung ein. Eine Tangente schneidet den Kreis in einem doppelten Punkt. Deshalb muss die entstehende quadratische Gleichung in die Diskriminante null haben:
Nach dem Vereinfachen ergibt sich aus der Diskriminantenbedingung:
Die Lösungen sind die Steigungen der beiden nicht vertikalen Tangenten. Falls eine vertikale Tangente möglich ist, muss getrennt geprüft werden, denn sie lässt sich nicht als schreiben.
Bestimme die beiden Tangenten an den Kreis , die durch verlaufen.
Schritt 1: Prüfe, ob außerhalb des Kreises liegt.
Schritt 2: Setze , und in die quadratische Gleichung für ein:
Schritt 3: Löse die quadratische Gleichung.
Also und .
Schritt 4: Setze jede Steigung in die Punkt-Steigungs-Form durch ein.
In jeder Aufgabe ist die Gleichung einer Geraden gesucht, die den Kreis in genau einem Punkt berührt, deshalb beginnst du mit der Tangentialbedingung und nutzt danach den gegebenen Punkt oder die Steigung.
Bestimme die Tangentengleichung für den Kreis im Punkt .
Finde die Tangentengleichungen für den Kreis mit der Steigung .
Bestimme die Tangentengleichungen für den Kreis , die durch den Punkt verlaufen.
Ein Kreis hat die Gleichung . Bestimme die Tangentengleichungen, die parallel zur Geraden verlaufen.
Lösung 1:
Für den Kreis und den Berührpunkt verwenden wir die Berührpunktform:
Schritt 1: Setze die Koordinaten des Berührpunkts ein.
Schritt 2: Teile beide Seiten durch .
Die Tangentengleichung lautet also .
Lösung 2:
Für die Steigung und den Radius gilt:
Schritt 1: Berechne .
Schritt 2: Setze das Ergebnis in die Tangentenformel ein.
Die beiden Tangentengleichungen lauten also: und .
Lösung 3:
Der Kreis hat den Mittelpunkt und den Radius .
Schritt 1: Prüfe die Lage von .
Der Punkt liegt außerhalb des Kreises.
Schritt 2: Verschiebe den Mittelpunkt gedanklich in den Ursprung. Relativ zum Mittelpunkt hat der äußere Punkt die Koordinaten .
Schritt 3: Stelle die quadratische Gleichung für die Steigungen von an den Kreis auf.
Schritt 4: Löse sie mit der quadratischen Formel.
Schritt 5: Vereinfache die Steigungen und setze sie in die Punkt-Steigungs-Form durch ein.
Das sind die beiden Tangenten durch .
Lösung 4:
Schritt 1: Bringe die Kreisgleichung durch quadratische Ergänzung in die Standardform.
Der Mittelpunkt ist , der Radius ist .
Schritt 2: Lies die Steigung der vorgegebenen Geraden ab. Da die Form hat, besitzt jede parallele Gerade die Steigung .
Schritt 3: Setze den Mittelpunkt , den Radius und die Steigung in die Tangentenformel ein.
Schritt 4: Vereinfache beide Gleichungen.
Die beiden Tangentengleichungen lauten also: und .
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