Gleichung einer Tangente an einen Kreis

Radius und Tangente stehen am Berührpunkt senkrecht aufeinander

Stell dir ein Fahrrad vor, dessen Rad auf einer ebenen Straße steht. In diesem Moment berührt die Straße den kreisförmigen Reifen genau an einem Punkt. Die Straße zeigt hier eine $Tangente$ . Der Radius zum Berührpunkt steht senkrecht auf ihr.

Wir bestimmen die Gleichung dieser Geraden in drei Situationen: Der Berührpunkt ist bekannt, die Steigung ist bekannt oder die Tangente soll durch einen Punkt außerhalb des Kreises verlaufen.

Die geometrische Idee bleibt dabei gleich. Eine Tangente berührt den Kreis in $genau einem Punkt$ . Der Radius zu diesem Punkt liefert entweder die senkrechte Richtung oder den benötigten Abstand.

Tangente in einem bekannten Punkt

Ist der Berührpunkt bekannt, prüfe zuerst, ob er wirklich auf dem Kreis liegt. Danach dient der Radius zu diesem Punkt als Normalenvektor der Tangente.

Tangente in einem bekannten Punkt

Die Tangentengleichung entsteht aus dem bekannten Berührpunkt.

Für den Kreis $x^2+y^2=r^2$ und einen Berührpunkt $M(p,q)$ auf dem Kreis gilt die $Berührpunktform$ :

px + qy = r^2

Warum funktioniert diese Formel? Der Radius $OM$ hat den Richtungsvektor $(p,q)$ . Da die Tangente senkrecht auf $OM$ steht, ist derselbe Vektor ein Normalenvektor der Tangente. Setzt man $M$ ein, erhält man $p^2+q^2=r^2$ . Die Gerade verläuft also tatsächlich durch den Berührpunkt.

Für den Kreis $(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$ mit Berührpunkt $M(p,q)$ wenden wir dieselbe Idee auf den Mittelpunkt $(h,k)$ an:

\begin{aligned} &(p-h)(x-h) + (q-k)(y-k) \\ &= r^2 \end{aligned}

Diese Form nutzt den Radius direkt als Normalenvektor. Sie funktioniert auch bei einer vertikalen Tangente, für die keine endliche Steigung existiert.

Abstandsmethode bei gegebener Steigung

Ist die Steigung bekannt, aber der Achsenabschnitt noch nicht, hilft die Abstandsbedingung: Der senkrechte Abstand vom Mittelpunkt zur Tangente ist gleich dem Radius.

Tangenten mit gegebener Steigung

Der Abstand vom Mittelpunkt zur Geraden bestimmt die beiden Achsenabschnitte.

Der Kreis sei $(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$ und die Tangente habe die Steigung $m$ . Wir schreiben die Gerade als $y=mx+c$ .

Die $Punkt-Geraden-Abstandsformel$ liefert den Abstand des Mittelpunkts $(h,k)$ von der Geraden $mx-y+c=0$ :

d = \frac{|mh - k + c|}{\sqrt{m^2 + 1}}

Bei einer Tangente muss dieser Abstand gleich dem Radius sein:

\frac{|mh - k + c|}{\sqrt{m^2 + 1}} = r

Aus der Betragsgleichung ergeben sich zwei Achsenabschnitte:

c = k - mh \pm r\sqrt{m^2 + 1}

Damit lauten die beiden parallelen Tangenten:

y = mx + k - mh \pm r\sqrt{m^2 + 1}

Tangenten durch einen Punkt außerhalb des Kreises

Von einem Punkt außerhalb eines Kreises lassen sich $genau zwei Tangenten$ ziehen. Haben beide eine endliche Steigung, können wir ihre Steigungen mit einer quadratischen Gleichung bestimmen.

Tangenten durch einen Punkt außerhalb

Die Bedingung eines doppelten Schnittpunkts bestimmt die beiden Steigungen.

Der äußere Punkt sei $P(x_0,y_0)$ und der Kreis habe die Gleichung $x^2+y^2=r^2$ . Eine nicht vertikale Gerade durch $P$ hat die Steigung $m$ .

Ihre Gleichung lautet $y-y_0=m(x-x_0)$ oder $y=mx-mx_0+y_0$ .

Setze diesen Ausdruck in die Kreisgleichung ein. Eine Tangente schneidet den Kreis in einem doppelten Punkt. Deshalb muss die entstehende quadratische Gleichung in $x$ die Diskriminante null haben:

x^2 + (mx - mx_0 + y_0)^2 = r^2

Nach dem Vereinfachen ergibt sich aus der Diskriminantenbedingung:

\begin{aligned} &(x_0^2 - r^2)m^2 - 2x_0y_0m + (y_0^2 - r^2) \\ &= 0 \end{aligned}

Die Lösungen sind die Steigungen der beiden nicht vertikalen Tangenten. Falls eine vertikale Tangente möglich ist, muss $x=x_0$ getrennt geprüft werden, denn sie lässt sich nicht als $y=mx+c$ schreiben.

Zwei Tangenten von einem äußeren Punkt bestimmen

Bestimme die beiden Tangenten an den Kreis $x^2+y^2=25$ , die durch $A(7,1)$ verlaufen.

$Schritt 1$ : Prüfe, ob $A$ $außerhalb des Kreises$ liegt.

7^2 + 1^2 = 49 + 1 = 50 > 25 \quad \checkmark

$Schritt 2$ : Setze $x_0=7$ , $y_0=1$ und $r^2=25$ in die quadratische Gleichung für $m$ ein:

\begin{aligned} &(49 - 25)m^2 - 2(7)(1)m + (1 - 25) \\ &= 0 \end{aligned}

$Schritt 3$ : Löse die quadratische Gleichung.

\begin{aligned} m &= \frac{7 \pm \sqrt{49 + 576}}{24} \\ &= \frac{7 \pm \sqrt{625}}{24} \\ &= \frac{7 \pm 25}{24} \end{aligned}

Also $m_1 = \frac{32}{24} = \frac{4}{3}$ und $m_2 = \frac{-18}{24} = -\frac{3}{4}$ .

$Schritt 4$ : Setze jede Steigung in die $Punkt-Steigungs-Form$ durch $A$ ein.

y - 1 = \frac{4}{3}(x - 7) \Rightarrow 4x - 3y = 25

Übungen

In jeder Aufgabe ist die Gleichung einer Geraden gesucht, die den Kreis in genau einem Punkt berührt, deshalb beginnst du mit der $Tangentialbedingung$ und nutzt danach den gegebenen Punkt oder die Steigung.

Bestimme die Tangentengleichung für den Kreis $x^2 + y^2 = 16$ im Punkt $(2\sqrt{2}, 2\sqrt{2})$ .
Finde die Tangentengleichungen für den Kreis $x^2 + y^2 = 9$ mit der Steigung $-\frac{1}{2}$ .
Bestimme die Tangentengleichungen für den Kreis $(x-3)^2 + (y-4)^2 = 25$ , die durch den Punkt $(11, 10)$ verlaufen.
Ein Kreis hat die Gleichung $x^2 + y^2 - 6x - 8y = 0$ . Bestimme die Tangentengleichungen, die parallel zur Geraden $3x + 4y = 7$ verlaufen.

Ausführliche Lösungen

$Lösung 1$ :

Für den Kreis $x^2 + y^2 = 16$ und den Berührpunkt $(2\sqrt{2}, 2\sqrt{2})$ verwenden wir die Berührpunktform:

x \cdot x_1 + y \cdot y_1 = r^2

$Schritt 1$ : Setze die $Koordinaten des Berührpunkts$ ein.

x \cdot 2\sqrt{2} + y \cdot 2\sqrt{2} = 16

$Schritt 2$ : Teile beide Seiten durch $2\sqrt{2}$ .

\begin{aligned} x + y &= \frac{16}{2\sqrt{2}} \\ &= \frac{8}{\sqrt{2}} \\ &= \frac{8\sqrt{2}}{2} \\ &= 4\sqrt{2} \end{aligned}

Die Tangentengleichung lautet also $x + y = 4\sqrt{2}$ .

$Lösung 2$ :

Für die Steigung $m = -\frac{1}{2}$ und den Radius $r = 3$ gilt:

y = mx \pm r\sqrt{1 + m^2}

$Schritt 1$ : Berechne $\sqrt{1 + m^2}$ .

\begin{aligned} \sqrt{1 + m^2} &= \sqrt{1 + \left(-\frac{1}{2}\right)^2} \\ &= \sqrt{1 + \frac{1}{4}} \\ &= \sqrt{\frac{5}{4}} \\ &= \frac{\sqrt{5}}{2} \end{aligned}

$Schritt 2$ : Setze das Ergebnis in die Tangentenformel ein.

y = -\frac{1}{2}x \pm 3 \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} = -\frac{1}{2}x \pm \frac{3\sqrt{5}}{2}

Die $beiden Tangentengleichungen$ lauten also: $y = -\frac{1}{2}x + \frac{3\sqrt{5}}{2}$ und $y = -\frac{1}{2}x - \frac{3\sqrt{5}}{2}$ .

$Lösung 3$ :

Der Kreis $(x-3)^2 + (y-4)^2 = 25$ hat den Mittelpunkt $(3,4)$ und den Radius $r = 5$ .

$Schritt 1$ : Prüfe die Lage von $(11,10)$ .

\begin{aligned} &(11-3)^2 + (10-4)^2 \\ &= 8^2 + 6^2 \\ &= 64 + 36 \\ &= 100 > 25 \end{aligned}

Der Punkt liegt außerhalb des Kreises.

$Schritt 2$ : $Verschiebe den Mittelpunkt$ gedanklich in den Ursprung. Relativ zum Mittelpunkt hat der äußere Punkt $(11,10)$ die Koordinaten $(8,6)$ .

$Schritt 3$ : Stelle die quadratische Gleichung für die Steigungen von $(8,6)$ an den Kreis $x^2 + y^2 = 25$ auf.

\begin{aligned} &(8^2 - 25)m^2 - 2(8)(6)m \\ &\quad{}+ (6^2 - 25) = 0 \end{aligned}

$Schritt 4$ : Löse sie mit der quadratischen Formel.

\begin{aligned} m &= \frac{96 \pm \sqrt{96^2 - 4(39)(11)}}{2(39)} \\ &= \frac{96 \pm \sqrt{9216 - 1716}}{78} \end{aligned}

$Schritt 5$ : Vereinfache die Steigungen und setze sie in die Punkt-Steigungs-Form durch $(11,10)$ ein.

\begin{aligned} &m_1 = \frac{48 + 25\sqrt{3}}{39} \\ &\text{und} \\ &m_2 = \frac{48 - 25\sqrt{3}}{39} \end{aligned}

Das sind die beiden Tangenten durch $(11,10)$ .

$Lösung 4$ :

$Schritt 1$ : Bringe die Kreisgleichung durch quadratische Ergänzung in die Standardform.

x^2 + y^2 - 6x - 8y = 0

Der Mittelpunkt ist $(3,4)$ , der Radius ist $r=5$ .

$Schritt 2$ : Lies die Steigung der vorgegebenen Geraden ab. Da $3x + 4y = 7$ die Form $y = -\frac{3}{4}x + \frac{7}{4}$ hat, besitzt $jede parallele Gerade$ die Steigung $m = -\frac{3}{4}$ .

$Schritt 3$ : Setze den Mittelpunkt $(3,4)$ , den Radius und die Steigung in die Tangentenformel ein.

y - 4 = -\frac{3}{4}(x - 3) \pm 5\sqrt{1 + \frac{9}{16}}

$Schritt 4$ : Vereinfache beide Gleichungen.

y = -\frac{3}{4}x + \frac{50}{4} = -\frac{3}{4}x + \frac{25}{2}

Die $beiden Tangentengleichungen$ lauten also: $y = -\frac{3}{4}x + \frac{25}{2}$ und $y = -\frac{3}{4}x$ .

Radius und Tangente stehen am Berührpunkt senkrecht aufeinander

Wir bestimmen die Gleichung dieser Geraden in drei Situationen: Der Berührpunkt ist bekannt, die Steigung ist bekannt oder die Tangente soll durch einen Punkt außerhalb des Kreises verlaufen.

Die geometrische Idee bleibt dabei gleich. Eine Tangente berührt den Kreis in $genau einem Punkt$ . Der Radius zu diesem Punkt liefert entweder die senkrechte Richtung oder den benötigten Abstand.

Tangente in einem bekannten Punkt

Ist der Berührpunkt bekannt, prüfe zuerst, ob er wirklich auf dem Kreis liegt. Danach dient der Radius zu diesem Punkt als Normalenvektor der Tangente.

Tangente in einem bekannten Punkt

Die Tangentengleichung entsteht aus dem bekannten Berührpunkt.

Für den Kreis $x^2+y^2=r^2$ und einen Berührpunkt $M(p,q)$ auf dem Kreis gilt die $Berührpunktform$ :

px + qy = r^2

Für den Kreis $(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$ mit Berührpunkt $M(p,q)$ wenden wir dieselbe Idee auf den Mittelpunkt $(h,k)$ an:

\begin{aligned} &(p-h)(x-h) + (q-k)(y-k) \\ &= r^2 \end{aligned}

Diese Form nutzt den Radius direkt als Normalenvektor. Sie funktioniert auch bei einer vertikalen Tangente, für die keine endliche Steigung existiert.

Abstandsmethode bei gegebener Steigung

Ist die Steigung bekannt, aber der Achsenabschnitt noch nicht, hilft die Abstandsbedingung: Der senkrechte Abstand vom Mittelpunkt zur Tangente ist gleich dem Radius.

Tangenten mit gegebener Steigung

Der Abstand vom Mittelpunkt zur Geraden bestimmt die beiden Achsenabschnitte.

Der Kreis sei $(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$ und die Tangente habe die Steigung $m$ . Wir schreiben die Gerade als $y=mx+c$ .

Die $Punkt-Geraden-Abstandsformel$ liefert den Abstand des Mittelpunkts $(h,k)$ von der Geraden $mx-y+c=0$ :

d = \frac{|mh - k + c|}{\sqrt{m^2 + 1}}

Bei einer Tangente muss dieser Abstand gleich dem Radius sein:

\frac{|mh - k + c|}{\sqrt{m^2 + 1}} = r

Aus der Betragsgleichung ergeben sich zwei Achsenabschnitte:

c = k - mh \pm r\sqrt{m^2 + 1}

Damit lauten die beiden parallelen Tangenten:

y = mx + k - mh \pm r\sqrt{m^2 + 1}

Tangenten durch einen Punkt außerhalb des Kreises

Von einem Punkt außerhalb eines Kreises lassen sich $genau zwei Tangenten$ ziehen. Haben beide eine endliche Steigung, können wir ihre Steigungen mit einer quadratischen Gleichung bestimmen.

Tangenten durch einen Punkt außerhalb

Die Bedingung eines doppelten Schnittpunkts bestimmt die beiden Steigungen.

Der äußere Punkt sei $P(x_0,y_0)$ und der Kreis habe die Gleichung $x^2+y^2=r^2$ . Eine nicht vertikale Gerade durch $P$ hat die Steigung $m$ .

Ihre Gleichung lautet $y-y_0=m(x-x_0)$ oder $y=mx-mx_0+y_0$ .

Setze diesen Ausdruck in die Kreisgleichung ein. Eine Tangente schneidet den Kreis in einem doppelten Punkt. Deshalb muss die entstehende quadratische Gleichung in $x$ die Diskriminante null haben:

x^2 + (mx - mx_0 + y_0)^2 = r^2

Nach dem Vereinfachen ergibt sich aus der Diskriminantenbedingung:

\begin{aligned} &(x_0^2 - r^2)m^2 - 2x_0y_0m + (y_0^2 - r^2) \\ &= 0 \end{aligned}

Zwei Tangenten von einem äußeren Punkt bestimmen

Bestimme die beiden Tangenten an den Kreis $x^2+y^2=25$ , die durch $A(7,1)$ verlaufen.

$Schritt 1$ : Prüfe, ob $A$ $außerhalb des Kreises$ liegt.

7^2 + 1^2 = 49 + 1 = 50 > 25 \quad \checkmark

$Schritt 2$ : Setze $x_0=7$ , $y_0=1$ und $r^2=25$ in die quadratische Gleichung für $m$ ein:

\begin{aligned} &(49 - 25)m^2 - 2(7)(1)m + (1 - 25) \\ &= 0 \end{aligned}

$Schritt 3$ : Löse die quadratische Gleichung.

\begin{aligned} m &= \frac{7 \pm \sqrt{49 + 576}}{24} \\ &= \frac{7 \pm \sqrt{625}}{24} \\ &= \frac{7 \pm 25}{24} \end{aligned}

Also $m_1 = \frac{32}{24} = \frac{4}{3}$ und $m_2 = \frac{-18}{24} = -\frac{3}{4}$ .

$Schritt 4$ : Setze jede Steigung in die $Punkt-Steigungs-Form$ durch $A$ ein.

y - 1 = \frac{4}{3}(x - 7) \Rightarrow 4x - 3y = 25

Übungen

Bestimme die Tangentengleichung für den Kreis $x^2 + y^2 = 16$ im Punkt $(2\sqrt{2}, 2\sqrt{2})$ .
Finde die Tangentengleichungen für den Kreis $x^2 + y^2 = 9$ mit der Steigung $-\frac{1}{2}$ .
Bestimme die Tangentengleichungen für den Kreis $(x-3)^2 + (y-4)^2 = 25$ , die durch den Punkt $(11, 10)$ verlaufen.
Ein Kreis hat die Gleichung $x^2 + y^2 - 6x - 8y = 0$ . Bestimme die Tangentengleichungen, die parallel zur Geraden $3x + 4y = 7$ verlaufen.

Ausführliche Lösungen

$Lösung 1$ :

Für den Kreis $x^2 + y^2 = 16$ und den Berührpunkt $(2\sqrt{2}, 2\sqrt{2})$ verwenden wir die Berührpunktform:

x \cdot x_1 + y \cdot y_1 = r^2

$Schritt 1$ : Setze die $Koordinaten des Berührpunkts$ ein.

x \cdot 2\sqrt{2} + y \cdot 2\sqrt{2} = 16

$Schritt 2$ : Teile beide Seiten durch $2\sqrt{2}$ .

\begin{aligned} x + y &= \frac{16}{2\sqrt{2}} \\ &= \frac{8}{\sqrt{2}} \\ &= \frac{8\sqrt{2}}{2} \\ &= 4\sqrt{2} \end{aligned}

Die Tangentengleichung lautet also $x + y = 4\sqrt{2}$ .

$Lösung 2$ :

Für die Steigung $m = -\frac{1}{2}$ und den Radius $r = 3$ gilt:

y = mx \pm r\sqrt{1 + m^2}

$Schritt 1$ : Berechne $\sqrt{1 + m^2}$ .

\begin{aligned} \sqrt{1 + m^2} &= \sqrt{1 + \left(-\frac{1}{2}\right)^2} \\ &= \sqrt{1 + \frac{1}{4}} \\ &= \sqrt{\frac{5}{4}} \\ &= \frac{\sqrt{5}}{2} \end{aligned}

$Schritt 2$ : Setze das Ergebnis in die Tangentenformel ein.

y = -\frac{1}{2}x \pm 3 \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} = -\frac{1}{2}x \pm \frac{3\sqrt{5}}{2}

Die $beiden Tangentengleichungen$ lauten also: $y = -\frac{1}{2}x + \frac{3\sqrt{5}}{2}$ und $y = -\frac{1}{2}x - \frac{3\sqrt{5}}{2}$ .

$Lösung 3$ :

Der Kreis $(x-3)^2 + (y-4)^2 = 25$ hat den Mittelpunkt $(3,4)$ und den Radius $r = 5$ .

$Schritt 1$ : Prüfe die Lage von $(11,10)$ .

\begin{aligned} &(11-3)^2 + (10-4)^2 \\ &= 8^2 + 6^2 \\ &= 64 + 36 \\ &= 100 > 25 \end{aligned}

Der Punkt liegt außerhalb des Kreises.

$Schritt 2$ : $Verschiebe den Mittelpunkt$ gedanklich in den Ursprung. Relativ zum Mittelpunkt hat der äußere Punkt $(11,10)$ die Koordinaten $(8,6)$ .

$Schritt 3$ : Stelle die quadratische Gleichung für die Steigungen von $(8,6)$ an den Kreis $x^2 + y^2 = 25$ auf.

\begin{aligned} &(8^2 - 25)m^2 - 2(8)(6)m \\ &\quad{}+ (6^2 - 25) = 0 \end{aligned}

$Schritt 4$ : Löse sie mit der quadratischen Formel.

\begin{aligned} m &= \frac{96 \pm \sqrt{96^2 - 4(39)(11)}}{2(39)} \\ &= \frac{96 \pm \sqrt{9216 - 1716}}{78} \end{aligned}

$Schritt 5$ : Vereinfache die Steigungen und setze sie in die Punkt-Steigungs-Form durch $(11,10)$ ein.

\begin{aligned} &m_1 = \frac{48 + 25\sqrt{3}}{39} \\ &\text{und} \\ &m_2 = \frac{48 - 25\sqrt{3}}{39} \end{aligned}

Das sind die beiden Tangenten durch $(11,10)$ .

$Lösung 4$ :

$Schritt 1$ : Bringe die Kreisgleichung durch quadratische Ergänzung in die Standardform.

x^2 + y^2 - 6x - 8y = 0

Der Mittelpunkt ist $(3,4)$ , der Radius ist $r=5$ .

$Schritt 2$ : Lies die Steigung der vorgegebenen Geraden ab. Da $3x + 4y = 7$ die Form $y = -\frac{3}{4}x + \frac{7}{4}$ hat, besitzt $jede parallele Gerade$ die Steigung $m = -\frac{3}{4}$ .

$Schritt 3$ : Setze den Mittelpunkt $(3,4)$ , den Radius und die Steigung in die Tangentenformel ein.

y - 4 = -\frac{3}{4}(x - 3) \pm 5\sqrt{1 + \frac{9}{16}}

$Schritt 4$ : Vereinfache beide Gleichungen.

y = -\frac{3}{4}x + \frac{50}{4} = -\frac{3}{4}x + \frac{25}{2}

Die $beiden Tangentengleichungen$ lauten also: $y = -\frac{3}{4}x + \frac{25}{2}$ und $y = -\frac{3}{4}x$ .