Erwartungswert der Normalverteilung

Der Erwartungswert liegt im Zentrum der Verteilung

Der $Erwartungswert$ ist der mit Wahrscheinlichkeiten gewichtete Mittelwert einer Zufallsvariablen. Er beschreibt auch den langfristigen Durchschnitt vieler unabhängiger Beobachtungen. Im Allgemeinen muss er nicht mit dem häufigsten Wert übereinstimmen. Bei einer Normalverteilung liegen Mittelwert, Median, Modus und Erwartungswert jedoch $im selben Zentrum$ .

Aus dieser Symmetrie folgt eine einfache Regel für den Erwartungswert.

Gilt $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ mit $\sigma>0$ , dann entspricht der Erwartungswert dem Mittelwertparameter $\mu$ .

Mathematisch können wir schreiben:

E(X) = \mu

Dabei ist $X$ eine Zufallsvariable, die der Normalverteilung folgt, und $\mu$ der Mittelwertparameter dieser Verteilung.

Die folgende Rechnung zeigt, warum das gilt.

Den Erwartungswert aus dem Integral herleiten

Der Erwartungswert einer stetigen Zufallsvariablen ist definiert als:

E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) \, dx

Für eine Normalverteilung mit $\sigma>0$ lautet die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion:

f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}

Wir setzen diese Funktion in die Erwartungswertformel ein:

E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2} \, dx

Nun verwenden wir die Substitution $t = \frac{x-\mu}{\sigma}$ . Dann gilt $x = \sigma t + \mu$ und $dx = \sigma \, dt$ .

Bezeichne die ursprüngliche Dichte nach dem Einsetzen von $x=\sigma t+\mu$ mit $h(t)$ und halte $dx=\sigma\,dt$ getrennt:

h(t)=\frac1{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac12t^2}

Für die beiden Integrale gilt:

$Erstes Integral$ : $\int_{-\infty}^{\infty} t e^{-\frac{1}{2}t^2} \, dt = 0$ , weil $g(t)=t e^{-\frac{1}{2}t^2}$ ungerade ist. Aus $g(-t) = -g(t)$ folgt, dass sich die vorzeichenbehafteten Flächen über dem symmetrischen Intervall $(-\infty, \infty)$ aufheben.
$Zweites Integral$ : $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{1}{2}t^2} \, dt = \sqrt{2\pi}$ ist das Gaußsche Integral. Multipliziert mit dem Normierungsfaktor $1/\sqrt{2\pi}$ ergibt es die Gesamtwahrscheinlichkeit $1$ der Standardnormaldichte.

Beide Hälften des ersten Integrals $konvergieren einzeln$ . Die Stammfunktion $-e^{-t^2/2}$ liefert jeden Beitrag. Die Null entsteht also nicht durch Subtraktion zweier unendlicher Werte.

\int_0^\infty te^{-t^2/2}\,dt=\left[-e^{-t^2/2}\right]_0^\infty=0-(-1)=1

Entgegengesetzte Beiträge heben sich auf

Der Graph von

g(t) = t e^{-t^2/2}

von -3 bis 3. Bei t und -t sind die Höhen betragsgleich mit entgegengesetztem Vorzeichen. Auch die nicht gezeigten Enden sind symmetrisch.

Deshalb:

E(X) = \frac{\sigma}{\sqrt{2\pi}} \cdot 0 + \frac{\mu}{\sqrt{2\pi}} \cdot \sqrt{2\pi}

Damit ist gezeigt, dass der Erwartungswert einer normalverteilten Zufallsvariablen ihrem $Mittelwertparameter$ entspricht.

Für jede Normalverteilung $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ gilt $E(X) = \mu$ . Das bedeutet, dass wir nicht jedes Mal eine Integration durchführen müssen, wenn wir den Erwartungswert einer Normalverteilung berechnen. Wir verwenden einfach den Parameterwert $\mu$ .

Praktische Interpretation

Für eine Normalverteilung hängen Erwartungswert und Mittelwertparameter wie folgt zusammen.

Für eine normalverteilte Zufallsvariable mit Mittelwert $\mu$ und Standardabweichung $\sigma$ ist der $Erwartungswert$ genau $\mu$ . Bei vielen unabhängigen Beobachtungen aus dieser Verteilung nähert sich der Stichprobenmittelwert nach dem Gesetz der großen Zahlen dem Wert $\mu$ .

$Beispiel$ :

Wenn die Körpergrößen einer Schülergruppe normalverteilt sind und der Mittelwert $165 \text{ cm}$ beträgt, liegt die erwartete Körpergröße eines zufällig ausgewählten Schülers bei $165 \text{ cm}$ .

Erwartungswerte für Prüfungspunkte und Geburtsgewichte

$Beispiel 1$

Angenommen, die Ergebnisse einer Mathematikprüfung werden durch eine Normalverteilung mit dem Mittelwert $\mu = 75$ und der Standardabweichung $\sigma = 10$ modelliert. Wie hoch ist der Erwartungswert der Punktzahl eines zufällig ausgewählten Schülers?

$Lösung$ :

Da für die Normalverteilung $E(X) = \mu$ gilt, beträgt der Erwartungswert der Prüfungspunktzahl:

E(X) = 75

Der Erwartungswert der Prüfungspunktzahl beträgt daher $75$ .

$Beispiel 2$

Angenommen, die Gewichte von Neugeborenen in einem Krankenhaus werden durch eine Normalverteilung mit dem Mittelwert $3{.}200 \text{ Gramm}$ und der Standardabweichung $400 \text{ Gramm}$ modelliert. Bestimme das erwartete Gewicht eines zufällig ausgewählten Neugeborenen.

$Lösung$ :

Gegeben seien $\mu = 3{.}200 \text{ Gramm}$ und $\sigma = 400 \text{ Gramm}$ .

Das erwartete Gewicht entspricht dem Mittelwertparameter:

E(X) = \mu = 3{.}200 \text{ Gramm}

Übungen

Alle drei Aufgaben geben $Mittelwert und Standardabweichung$ einer Normalverteilung an und fragen nach dem Erwartungswert. Lies den Mittelwert direkt aus der Beschreibung ab, weil der Erwartungswert einer Normalverteilung an ihrem Zentrum liegt.

Die Fahrzeit von zu Hause zur Schule wird durch eine Normalverteilung mit dem Mittelwert $25 \text{ Minuten}$ und der Standardabweichung $5 \text{ Minuten}$ modelliert. Bestimme die erwartete Fahrzeit.
Die tägliche Lufttemperatur in Jakarta im Juni wird durch eine Normalverteilung mit dem Mittelwert $28^\circ\text{C}$ und der Standardabweichung $3^\circ\text{C}$ modelliert. Wie hoch ist die erwartete Temperatur an einem zufällig ausgewählten Tag?
Die Physikprüfungsergebnisse der Jahrgangsstufe $12$ werden durch eine Normalverteilung mit dem Mittelwert $78$ und der Standardabweichung $12$ modelliert. Wie hoch ist der Erwartungswert für einen zufällig ausgewählten Schüler?

Lösungen

$Lösung zu Aufgabe 1$ :

Gegeben: $\mu = 25 \text{ Minuten}$ , $\sigma = 5 \text{ Minuten}$

Da die Normalverteilung die Eigenschaft $E(X) = \mu$ hat, gilt:

$E(X) = 25 \text{ Minuten}$

$Antwort$ : Der Erwartungswert der Reisezeit beträgt $25 \text{ Minuten}$ .
$Lösung zu Aufgabe 2$ :

Gegeben: $\mu = 28^\circ\text{C}$ , $\sigma = 3^\circ\text{C}$

Verwendung der Grundeigenschaft der Normalverteilung:

$E(X) = \mu = 28^\circ\text{C}$

$Antwort$ : Der erwartete Wert der Lufttemperatur beträgt $28^\circ\text{C}$ .
$Lösung zu Aufgabe 3$ :

Gegeben: $\mu = 78$ , $\sigma = 12$

Für eine normalverteilte Zufallsvariable gilt $E(X)=\mu$ . Daher:

$E(X) = \mu = 78$

$Antwort$ : Der Erwartungswert der Prüfungspunktzahl beträgt $78$ .

Der Erwartungswert liegt im Zentrum der Verteilung

Aus dieser Symmetrie folgt eine einfache Regel für den Erwartungswert.

Gilt $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ mit $\sigma>0$ , dann entspricht der Erwartungswert dem Mittelwertparameter $\mu$ .

Mathematisch können wir schreiben:

E(X) = \mu

Dabei ist $X$ eine Zufallsvariable, die der Normalverteilung folgt, und $\mu$ der Mittelwertparameter dieser Verteilung.

Die folgende Rechnung zeigt, warum das gilt.

Den Erwartungswert aus dem Integral herleiten

Der Erwartungswert einer stetigen Zufallsvariablen ist definiert als:

E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) \, dx

Für eine Normalverteilung mit $\sigma>0$ lautet die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion:

f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}

Wir setzen diese Funktion in die Erwartungswertformel ein:

E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2} \, dx

Nun verwenden wir die Substitution $t = \frac{x-\mu}{\sigma}$ . Dann gilt $x = \sigma t + \mu$ und $dx = \sigma \, dt$ .

Bezeichne die ursprüngliche Dichte nach dem Einsetzen von $x=\sigma t+\mu$ mit $h(t)$ und halte $dx=\sigma\,dt$ getrennt:

h(t)=\frac1{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac12t^2}

Für die beiden Integrale gilt:

$Erstes Integral$ : $\int_{-\infty}^{\infty} t e^{-\frac{1}{2}t^2} \, dt = 0$ , weil $g(t)=t e^{-\frac{1}{2}t^2}$ ungerade ist. Aus $g(-t) = -g(t)$ folgt, dass sich die vorzeichenbehafteten Flächen über dem symmetrischen Intervall $(-\infty, \infty)$ aufheben.
$Zweites Integral$ : $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{1}{2}t^2} \, dt = \sqrt{2\pi}$ ist das Gaußsche Integral. Multipliziert mit dem Normierungsfaktor $1/\sqrt{2\pi}$ ergibt es die Gesamtwahrscheinlichkeit $1$ der Standardnormaldichte.

Beide Hälften des ersten Integrals $konvergieren einzeln$ . Die Stammfunktion $-e^{-t^2/2}$ liefert jeden Beitrag. Die Null entsteht also nicht durch Subtraktion zweier unendlicher Werte.

\int_0^\infty te^{-t^2/2}\,dt=\left[-e^{-t^2/2}\right]_0^\infty=0-(-1)=1

Entgegengesetzte Beiträge heben sich auf

Der Graph von

g(t) = t e^{-t^2/2}

von -3 bis 3. Bei t und -t sind die Höhen betragsgleich mit entgegengesetztem Vorzeichen. Auch die nicht gezeigten Enden sind symmetrisch.

Deshalb:

E(X) = \frac{\sigma}{\sqrt{2\pi}} \cdot 0 + \frac{\mu}{\sqrt{2\pi}} \cdot \sqrt{2\pi}

Damit ist gezeigt, dass der Erwartungswert einer normalverteilten Zufallsvariablen ihrem $Mittelwertparameter$ entspricht.

Für jede Normalverteilung $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ gilt $E(X) = \mu$ . Das bedeutet, dass wir nicht jedes Mal eine Integration durchführen müssen, wenn wir den Erwartungswert einer Normalverteilung berechnen. Wir verwenden einfach den Parameterwert $\mu$ .

Praktische Interpretation

Für eine Normalverteilung hängen Erwartungswert und Mittelwertparameter wie folgt zusammen.

$Beispiel$ :

Erwartungswerte für Prüfungspunkte und Geburtsgewichte

$Beispiel 1$

$Lösung$ :

Da für die Normalverteilung $E(X) = \mu$ gilt, beträgt der Erwartungswert der Prüfungspunktzahl:

E(X) = 75

Der Erwartungswert der Prüfungspunktzahl beträgt daher $75$ .

$Beispiel 2$

$Lösung$ :

Gegeben seien $\mu = 3{.}200 \text{ Gramm}$ und $\sigma = 400 \text{ Gramm}$ .

Das erwartete Gewicht entspricht dem Mittelwertparameter:

E(X) = \mu = 3{.}200 \text{ Gramm}

Übungen

Die Fahrzeit von zu Hause zur Schule wird durch eine Normalverteilung mit dem Mittelwert $25 \text{ Minuten}$ und der Standardabweichung $5 \text{ Minuten}$ modelliert. Bestimme die erwartete Fahrzeit.
Die tägliche Lufttemperatur in Jakarta im Juni wird durch eine Normalverteilung mit dem Mittelwert $28^\circ\text{C}$ und der Standardabweichung $3^\circ\text{C}$ modelliert. Wie hoch ist die erwartete Temperatur an einem zufällig ausgewählten Tag?
Die Physikprüfungsergebnisse der Jahrgangsstufe $12$ werden durch eine Normalverteilung mit dem Mittelwert $78$ und der Standardabweichung $12$ modelliert. Wie hoch ist der Erwartungswert für einen zufällig ausgewählten Schüler?

Lösungen

$Lösung zu Aufgabe 1$ :

Gegeben: $\mu = 25 \text{ Minuten}$ , $\sigma = 5 \text{ Minuten}$

Da die Normalverteilung die Eigenschaft $E(X) = \mu$ hat, gilt:

$E(X) = 25 \text{ Minuten}$

$Antwort$ : Der Erwartungswert der Reisezeit beträgt $25 \text{ Minuten}$ .
$Lösung zu Aufgabe 2$ :

Gegeben: $\mu = 28^\circ\text{C}$ , $\sigma = 3^\circ\text{C}$

Verwendung der Grundeigenschaft der Normalverteilung:

$E(X) = \mu = 28^\circ\text{C}$

$Antwort$ : Der erwartete Wert der Lufttemperatur beträgt $28^\circ\text{C}$ .
$Lösung zu Aufgabe 3$ :

Gegeben: $\mu = 78$ , $\sigma = 12$

Für eine normalverteilte Zufallsvariable gilt $E(X)=\mu$ . Daher:

$E(X) = \mu = 78$

$Antwort$ : Der Erwartungswert der Prüfungspunktzahl beträgt $78$ .