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Der Erwartungswert ist der mit Wahrscheinlichkeiten gewichtete Mittelwert einer Zufallsvariablen. Er beschreibt einen langfristigen Durchschnitt, und eine einzelne Serie kann davon abweichen. Ein Erwartungswert kann außerdem nicht ganzzahlig sein, obwohl die Zufallsvariable selbst nur ganzzahlige Werte annimmt.
Eine binomialverteilte Zufallsvariable zählt Erfolge in einer festen Anzahl unabhängiger Versuche mit gleicher Erfolgswahrscheinlichkeit. Ihr Erwartungswert gibt die langfristige mittlere Zahl der Erfolge an. Er muss nicht mit der wahrscheinlichsten Erfolgszahl übereinstimmen, denn diese wird durch den Modus beschrieben.
Für die Binomialverteilung gilt:
Dabei ist die Zahl der Versuche und die Erfolgswahrscheinlichkeit eines einzelnen Versuchs.
Die Formel folgt direkt daraus, dass jeder einzelne Versuch entweder null oder einen Erfolg beiträgt.
Wir beschreiben den -ten Versuch durch die Zufallsvariable . Sie hat den Wert bei Erfolg und bei Misserfolg.
Die Misserfolgswahrscheinlichkeit ist . Für den gewichteten Mittelwert multiplizierst du jeden Indikatorwert mit seiner Wahrscheinlichkeit und addierst beide Beiträge.
| Ergebnis | Indikator | Wahrscheinlichkeit | Beitrag |
|---|---|---|---|
| Erfolg | 1 | ||
| Misserfolg | 0 |
Der erwartete Wert für einen einzelnen Versuch ist:
Die Gesamtzahl der Erfolge ist die Summe dieser einzelnen Variablen:
Erwartungswerte addieren sich. Daher gilt:
Der Erwartungswert ist somit das Produkt aus Versuchszahl und Erfolgswahrscheinlichkeit.
Aufgabe:
Ein fairer Würfel wird -mal geworfen. Wie oft ist dabei im Mittel eine Fünf zu erwarten?
Lösung:
Wir prüfen die Voraussetzungen:
Jetzt identifizieren wir die Parameter:
Jetzt können wir den Erwartungswert direkt mit der Formel berechnen:
Was bedeutet die Zahl ?
Der Erwartungswert bedeutet nicht, dass die Augenzahl in einer einzelnen Serie genau -mal fallen kann. Wiederholt man jedoch sehr viele Serien mit jeweils Würfen, erscheint die langfristig im Mittel etwa -mal pro Serie.
In einer Serie ist die Anzahl der Fünfen eine ganze Zahl zwischen null und sieben. Der Erwartungswert beschreibt den Durchschnitt über viele Serien, kein vorgeschriebenes Ergebnis einer einzelnen Serie.
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