Dichtefunktion der Normalverteilung

Normalverteilung

Messwerte wie die Körpergröße von Menschen oder wiederholte Laborergebnisse häufen sich oft um einen Mittelwert. Für manche Populationen und unter passenden Bedingungen kann eine $Normalverteilung$ dieses Muster annähern. Ob das Modell geeignet ist, muss dennoch anhand der Daten geprüft werden.

Im Jahr $1733$ leitete Abraham de Moivre eine Normalapproximation der Binomialverteilung für große $n$ her. Pierre-Simon Laplace erweiterte das Ergebnis später. Heute ist es mit dem Satz von de Moivre-Laplace und der Entwicklung des zentralen Grenzwertsatzes verbunden.

Die Normalverteilung ist ein Modell, das nur für einen Teil der Datensätze angemessen ist. Sie ist geeignet, wenn die Beobachtungen ungefähr symmetrisch um einen Mittelwert liegen und das Modell die Daten für die untersuchte Frage ausreichend gut beschreibt.

Eigenschaften der Normalkurve

Die Dichtefunktion der Normalverteilung bildet eine symmetrische Glockenkurve. Die folgende Visualisierung zeigt die Standardnormalverteilung mit $\mu = 0$ und $\sigma = 1$ :

Standardnormalverteilungskurve

Die Standardnormaldichte ist bei

\mu=0

zentriert. Die senkrechten Strecken markieren ihre Wendepunkte

\mu\pm\sigma

Die Kurve besitzt vier kennzeichnende Eigenschaften:

$Form und Symmetrie$

Die Kurve ist glockenförmig und symmetrisch zur vertikalen Linie, die durch den Mittelwert ( $\mu$ ) verläuft. Das bedeutet, dass der linke und der rechte Teil der Kurve perfekte Spiegelbilder voneinander sind.
$Zentraler Punkt$

Die Normaldichte ist symmetrisch und besitzt genau einen Gipfel. Daher fallen Mittelwert, Median und Modus bei $\mu$ zusammen.
$Wendepunkte$

Die Kurve hat Wendepunkte bei $x = \mu \pm \sigma$ , was bedeutet, dass sich die Kurve in einem Abstand von einer Standardabweichung vom Mittelwert von konkav zu konvex (oder umgekehrt) ändert.
$Horizontale Asymptote$

Die Dichte bleibt für jedes endliche $x$ positiv und nähert sich $0$ , wenn $x$ gegen eine der beiden Unendlichkeiten strebt.

Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion

Die folgende Formel gibt die $Wahrscheinlichkeitsdichte$ an jeder Stelle $x$ an.

Ist $X$ normalverteilt mit Mittelwert $\mu$ , Varianz $\sigma^2$ und $\sigma>0$ , lautet die Dichtefunktion:

f_{\mu,\sigma}(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}

Diese Formel gilt für jedes $x$ mit $-\infty < x < \infty$ .

Die Konstanten und Parameter bedeuten:

$\pi \approx 3{,}1416$ ist die Kreiszahl
$e \approx 2{,}7183$ ist die Eulersche Zahl
$\mu$ ist der Mittelwert der Verteilung
$\sigma>0$ ist die Standardabweichung

Der Parameter $\mu$ verschiebt das Zentrum der Kurve, während $\sigma$ ihre Streuung bestimmt. Wahrscheinlichkeiten entsprechen Flächen unter der Dichtekurve. Die Höhe $f(x)$ an einem einzelnen Punkt ist ein Dichtewert.

Transformation zur Standardnormalverteilung

In der Praxis verwenden wir häufig die $Standardnormalverteilung$ mit Mittelwert $\mu = 0$ und Standardabweichung $\sigma = 1$ . Um eine reguläre Normalverteilung in eine Standardnormalverteilung umzuwandeln, verwenden wir die Transformation:

Z = \frac{X - \mu}{\sigma}

Die Variable $Z$ heißt $Standardwert$ oder $z-Wert$ . Sie gibt an, $wie viele Standardabweichungen$ $x$ über oder unter dem Mittelwert liegt. Dadurch kann dieselbe Standardnormalverteilungstabelle für jede Normalverteilung verwendet werden.

Warum z-Werte verwenden?

Mit dieser Transformation lassen sich Werte aus verschiedenen Verteilungen vergleichen. So können etwa Mathematik- und Physikergebnisse trotz unterschiedlicher Mittelwerte und Standardabweichungen auf derselben Skala eingeordnet werden.

Für einen beobachteten Wert $x$ schreiben wir den standardisierten Wert als $z$ . Angenommen, ein Mathematikergebnis von 80 gehört zu einer Verteilung mit Mittelwert 70 und Standardabweichung 5. Ein Physikergebnis von 90 gehört zu einer Verteilung mit Mittelwert 80 und Standardabweichung 10.

Fach	Standardisierter Wert
Mathematik	$z=\frac{80-70}{5}=2$
Physik	$z=\frac{90-80}{10}=1$

Das Mathematikergebnis liegt $höher relativ zur eigenen Gruppe$ , obwohl 80 kleiner als 90 ist. Verglichen wird die Position innerhalb der jeweiligen Verteilung, nicht die Schwierigkeit beider Prüfungen.

Eine Normalverteilungswahrscheinlichkeit zwischen zwei Grenzen berechnen

Angenommen, $X$ ist normalverteilt mit $\mu = 50$ und $\sigma = 10$ . Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass $X$ zwischen $45$ und $62$ liegt.

$Schritt 1$ : In z-Werte umwandeln

z_1 = \frac{45 - 50}{10} = \frac{-5}{10} = -0{,}5

$Schritt 2$ : Standardnormalverteilungstabelle verwenden

Das standardisierte Intervall lautet $P(-0{,}5 < Z < 1{,}2)$ . Von der $kumulierten Wahrscheinlichkeit an der oberen Grenze$ wird die $kumulierte Wahrscheinlichkeit an der unteren Grenze$ abgezogen:

\begin{aligned} P(a < Z < b) &= P(Z < b) \\ &\quad{}- P(Z < a) \end{aligned}

Aus der Standardnormalverteilungstabelle:

$P(Z < -0{,}5) \approx 0{,}3085$
$P(Z < 1{,}2) \approx 0{,}8849$

$Schritt 3$ : Endgültige Wahrscheinlichkeit berechnen

\begin{aligned} &P(45 < X < 62) \\ &= P(-0{,}5 < Z < 1{,}2) \\ &\approx 0{,}8849 - 0{,}3085 \\ &= 0{,}5764 \end{aligned}

Die Wahrscheinlichkeit, dass $X$ zwischen $45$ und $62$ liegt, beträgt also $0{,}5764$ oder ungefähr $57{,}64\%$ .