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Aus dieser Symmetrie folgt eine einfache Regel für den Erwartungswert.
Gilt mit , dann entspricht der Erwartungswert dem Mittelwertparameter .
Mathematisch können wir schreiben:
Dabei ist eine Zufallsvariable, die der Normalverteilung folgt, und der Mittelwertparameter dieser Verteilung.
Die folgende Rechnung zeigt, warum das gilt.
Der Erwartungswert einer stetigen Zufallsvariablen ist definiert als:
Für eine Normalverteilung mit lautet die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion:
Wir setzen diese Funktion in die Erwartungswertformel ein:
Nun verwenden wir die Substitution . Dann gilt und .
Bezeichne die ursprüngliche Dichte nach dem Einsetzen von mit und halte getrennt:
Für die beiden Integrale gilt:
Erstes Integral: , weil ungerade ist. Aus folgt, dass sich die vorzeichenbehafteten Flächen über dem symmetrischen Intervall aufheben.
Zweites Integral: ist das Gaußsche Integral. Multipliziert mit dem Normierungsfaktor ergibt es die Gesamtwahrscheinlichkeit der Standardnormaldichte.
Beide Hälften des ersten Integrals konvergieren einzeln. Die Stammfunktion liefert jeden Beitrag. Die Null entsteht also nicht durch Subtraktion zweier unendlicher Werte.
Deshalb:
Damit ist gezeigt, dass der Erwartungswert einer normalverteilten Zufallsvariablen ihrem Mittelwertparameter entspricht.
Für jede Normalverteilung gilt . Das bedeutet, dass wir nicht jedes Mal eine Integration durchführen müssen, wenn wir den Erwartungswert einer Normalverteilung berechnen. Wir verwenden einfach den Parameterwert .
Für eine Normalverteilung hängen Erwartungswert und Mittelwertparameter wie folgt zusammen.
Für eine normalverteilte Zufallsvariable mit Mittelwert und Standardabweichung ist der Erwartungswert genau . Bei vielen unabhängigen Beobachtungen aus dieser Verteilung nähert sich der Stichprobenmittelwert nach dem Gesetz der großen Zahlen dem Wert .
Beispiel:
Wenn die Körpergrößen einer Schülergruppe normalverteilt sind und der Mittelwert beträgt, liegt die erwartete Körpergröße eines zufällig ausgewählten Schülers bei .
Beispiel 1
Angenommen, die Ergebnisse einer Mathematikprüfung werden durch eine Normalverteilung mit dem Mittelwert und der Standardabweichung modelliert. Wie hoch ist der Erwartungswert der Punktzahl eines zufällig ausgewählten Schülers?
Lösung:
Da für die Normalverteilung gilt, beträgt der Erwartungswert der Prüfungspunktzahl:
Der Erwartungswert der Prüfungspunktzahl beträgt daher .
Beispiel 2
Angenommen, die Gewichte von Neugeborenen in einem Krankenhaus werden durch eine Normalverteilung mit dem Mittelwert und der Standardabweichung modelliert. Bestimme das erwartete Gewicht eines zufällig ausgewählten Neugeborenen.
Lösung:
Gegeben seien und .
Das erwartete Gewicht entspricht dem Mittelwertparameter:
Alle drei Aufgaben geben Mittelwert und Standardabweichung einer Normalverteilung an und fragen nach dem Erwartungswert. Lies den Mittelwert direkt aus der Beschreibung ab, weil der Erwartungswert einer Normalverteilung an ihrem Zentrum liegt.
Die Fahrzeit von zu Hause zur Schule wird durch eine Normalverteilung mit dem Mittelwert und der Standardabweichung modelliert. Bestimme die erwartete Fahrzeit.
Die tägliche Lufttemperatur in Jakarta im Juni wird durch eine Normalverteilung mit dem Mittelwert und der Standardabweichung modelliert. Wie hoch ist die erwartete Temperatur an einem zufällig ausgewählten Tag?
Die Physikprüfungsergebnisse der Jahrgangsstufe werden durch eine Normalverteilung mit dem Mittelwert und der Standardabweichung modelliert. Wie hoch ist der Erwartungswert für einen zufällig ausgewählten Schüler?
Lösung zu Aufgabe 1:
Gegeben: ,
Da die Normalverteilung die Eigenschaft hat, gilt:
Antwort: Der Erwartungswert der Reisezeit beträgt .
Lösung zu Aufgabe 2:
Gegeben: ,
Verwendung der Grundeigenschaft der Normalverteilung:
Lösung zu Aufgabe 3:
Gegeben: ,
Für eine normalverteilte Zufallsvariable gilt . Daher:
Veröffentlicht: . Aktualisiert: .
Antwort: Der erwartete Wert der Lufttemperatur beträgt .
Antwort: Der Erwartungswert der Prüfungspunktzahl beträgt .
