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Im Alltag begegnen uns häufig Situationen mit ungewissem Ausgang. Eine faire Münze kann zum Beispiel Kopf oder Zahl zeigen, und beide Ergebnisse sind gleich wahrscheinlich.
Besteht ein endlicher Ergebnisraum aus gleich wahrscheinlichen Ergebnissen, ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses gleich der Anzahl der Ergebnisse in geteilt durch die Gesamtzahl der Ergebnisse im Ergebnisraum .
Bei einer diskreten Gleichverteilung hat jedes mögliche Ergebnis genau dieselbe Wahrscheinlichkeit. Diese Lektion behandelt das diskrete Modell auf einer endlichen Menge; eine stetige Gleichverteilung verwendet dagegen eine Dichte auf einem Intervall.
Bei einem fairen sechsseitigen Würfel sind die möglichen Ergebnisse . Eine ist genauso wahrscheinlich wie eine . Da sechs Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind, hat jedes die Wahrscheinlichkeit .
Die Zufallsvariable besitze eine endliche Menge aus gleich wahrscheinlichen Werten. Dann lautet ihre Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion:
Dabei gilt:
ist die Wahrscheinlichkeit, dass den Wert annimmt
ist eines der möglichen Ergebnisse (zum Beispiel die Zahl auf einem Würfel)
ist die Gesamtzahl der möglichen Ergebnisse (zum Beispiel für einen Würfel)
Jedes Ergebnis erhält denselben Anteil an der Gesamtwahrscheinlichkeit: eins geteilt durch die Anzahl der möglichen Ergebnisse.
Die folgenden Beispiele wenden die Definition auf endliche Ergebnisräume an.
Ein fairer sechsseitiger Würfel wird einmal geworfen. Wie bestimmen wir seine diskrete Gleichverteilung?
Mögliche Ergebnisse: Der Ergebnisraum ist
Gesamtzahl der Ergebnisse: Es gibt mögliche Ergebnisse, also
Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion:
Bedeutung: Die Wahrscheinlichkeit, die Zahlen zu erhalten, beträgt jeweils oder ungefähr
Ein faires Glücksrad sei in gleich große Abschnitte mit den Nummern bis geteilt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es bei stehen bleibt?
Mögliche Ergebnisse:
Gesamtzahl der Ergebnisse: Es gibt Abschnitte, also
Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion:
Bedeutung: Die Wahrscheinlichkeit, dass das Rad bei der Zahl (oder einer anderen Zahl) stoppt, beträgt oder
Ein Beutel enthält Kugeln, die sich nur in ihrer Farbe unterscheiden: , , und so weiter, insgesamt verschiedene Farben. Wie groß ist bei einer zufälligen Ziehung die Wahrscheinlichkeit für eine gelbe Kugel? Gib auch die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion an.
In einem Standard-Bridge-Kartensatz mit Karten hat jede Karte die gleiche Wahrscheinlichkeit, gezogen zu werden. Welche Wahrscheinlichkeitsverteilung beschreibt das Ziehen einer Karte? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, den Herzkönig zu ziehen?
Lösung zur Aufgabe mit farbigen Kugeln
Schritt : Die Gesamtzahl der Möglichkeiten bestimmen.
Es gibt Kugeln mit unterschiedlichen Farben. Daher beträgt die Gesamtzahl der möglichen Ergebnisse .
Schritt : Die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion bestimmen.
Da die Kugeln bis auf ihre Farbe identisch sind, ist jede gleich wahrscheinlich. Wir verwenden die Formel der diskreten Gleichverteilung:
Dabei steht für eine der vorhandenen Kugelfarben.
Schritt : Die Wahrscheinlichkeit für die gelbe Kugel berechnen.
Die gelbe Kugel ist eine von Kugeln. Ihre Wahrscheinlichkeit ist daher dieselbe wie die jeder anderen Kugel:
Lösung zur Aufgabe mit der Bridge-Karte
Schritt : Die Art der Verteilung bestimmen.
Da jede Karte dieselbe Wahrscheinlichkeit hat, gezogen zu werden, ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung eine diskrete Gleichverteilung.
Schritt : Die Gesamtzahl der Möglichkeiten bestimmen.
Ein Standard-Bridge-Kartensatz besteht aus verschiedenen Karten, also
Daher beträgt die Wahrscheinlichkeit, eine gelbe Kugel zu ziehen, oder .
Schritt : Die Wahrscheinlichkeit für den Herzkönig berechnen.
Der Herzkönig ist eine der Karten. Nach dem Gleichverteilungsprinzip gilt daher:
Daher beträgt die Wahrscheinlichkeit, den König der Herzen zu ziehen, oder ungefähr
