Diskrete Gleichverteilung

Jedes Ergebnis hat die gleiche Wahrscheinlichkeit

Beim einmaligen Werfen einer fairen Münze haben Kopf und Zahl die gleiche Wahrscheinlichkeit. Jedes Ergebnis erhält die Hälfte der gesamten Wahrscheinlichkeit. Die diskrete Gleichverteilung überträgt diese Idee auf eine endliche Menge von Ergebnissen.

Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ordnet jedem Wert die Wahrscheinlichkeit seines Auftretens zu. Sind alle Ergebnisse im Ergebnisraum $S$ gleich wahrscheinlich, gilt für ein Ereignis $A$:

Dabei zählt $n(A)$ die Ergebnisse des Ereignisses und $n(S)$ alle möglichen Ergebnisse. Die Bedingung gleich wahrscheinlicher Ergebnisse muss erfüllt sein, bevor du dieses Verhältnis verwendest.

Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Werts

Die Zufallsvariable $X$ nehme $k$ gleich wahrscheinliche Werte aus einer Menge $S$ an. Ihre Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion weist jedem Wert denselben Anteil zu:

Die Wahrscheinlichkeiten müssen zusammen eins ergeben. Es gibt $k$ Anteile der Größe $1/k$, also insgesamt $k(1/k)=1$. Dieses Modell verwendet eine endliche Wertemenge. Eine stetige Gleichverteilung verwendet eine Dichte auf einem Intervall. Wahrscheinlichkeiten werden dort über Flächen bestimmt, nicht durch das Abzählen von Werten.

Würfel und Glücksrad vergleichen

In einem gleichverteilten Modell sinkt die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Ergebnisses, wenn die Anzahl möglicher Ergebnisse steigt. Beim Würfel wird die Gesamtwahrscheinlichkeit auf sechs Anteile verteilt, beim Rad mit acht Sektoren auf acht Anteile.

Einmal würfeln

Ein fairer Würfel hat den Ergebnisraum $S=\{1,2,3,4,5,6\}$. Für jeden Wert $x\in S$ gilt:

Eine $1$ ist genauso wahrscheinlich wie eine $6$. Das Ereignis einer geraden Augenzahl enthält jedoch drei Ergebnisse: $2,4,6$. Deshalb können ein Wert und ein Ereignis verschiedene Wahrscheinlichkeiten haben:

Ein Rad mit acht Sektoren

Ein faires Glücksrad besteht aus acht gleich großen Sektoren mit den Nummern $1$ bis $8$. Vergleiche Sektor $5$ mit den anderen. Jeder Sektor hat den Mittelpunktswinkel $360^\circ/8=45^\circ$.

Der Ergebnisraum lautet $S=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$, also ist $k=8$. Jeder Sektor ist gleich wahrscheinlich. Die Massenfunktion lautet daher $P(X=x)=1/8$ für jeden Wert $x\in S$. Für Sektor fünf ergibt sich:

Übungen

Bestimme die Ergebnismenge, zähle die gleich wahrscheinlichen Ergebnisse und berechne die gesuchte Wahrscheinlichkeit. Prüfe vor dem Teilen, ob das gesuchte Objekt überhaupt zur Ergebnismenge gehört.

1. Ein Beutel enthält zehn Kugeln, die sich nur durch ihre Farbe unterscheiden. Es gibt eine rote, eine blaue, eine grüne, eine gelbe und sechs weitere Kugeln mit jeweils einer anderen Farbe. Jede Kugel wird gleich wahrscheinlich gezogen. Gib die Massenfunktion für die Kugelfarbe an und berechne die Wahrscheinlichkeit für Gelb.
2. Ein Standard-Bridge-Kartensatz enthält 52 unterschiedliche Karten, die jeweils gleich wahrscheinlich gezogen werden. Bestimme die Verteilung für das Ziehen einer Karte und die Wahrscheinlichkeit für den Herzkönig.

Lösungen

Aufgabe 1. Es gibt zehn Farben, also ist $k=10$. Für jede Farbe $x$ aus der Farbmenge $S$ gilt:

Genau ein Ergebnis entspricht der gelben Kugel. Somit erhalten wir:

Aufgabe 2. Das Ziehen einer Karte folgt einer diskreten Gleichverteilung, weil alle 52 Karten gleich wahrscheinlich sind. Genau eines dieser 52 Ergebnisse entspricht dem Herzkönig.