Geometrische Folgen verstehen
Eine geometrische Folge ist eine Zahlenfolge, bei der jedes Glied aus dem vorherigen durch Multiplikation mit einem konstanten Faktor entsteht. Dieser Faktor wird mit bezeichnet.
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Eine geometrische Folge ist eine Zahlenfolge, bei der jedes Glied aus dem vorherigen durch Multiplikation mit einem konstanten Faktor entsteht. Dieser Faktor wird mit bezeichnet.
Für eine geometrische Folge lässt sich derselbe Zusammenhang über Quotienten ausdrücken, sofern alle benötigten Nenner ungleich null sind:
Jedes Glied entsteht also durch Multiplikation des vorherigen Gliedes mit dem Faktor . Die Quotientenform setzt von null verschiedene Nenner voraus. Die Multiplikationsregel bleibt dagegen auch dann gültig, wenn ein Glied null ist:
Ein einfaches Faltmodell macht den konstanten Faktor sichtbar. Falte ein rechteckiges Blatt Papier mehrmals in der Mitte.
Nach Falten entstehen gedanklich gleicher Größe. Nach dem zweiten Falten, also nach , sind es . Das Muster lautet:
| Anzahl der Falten | Anzahl gleicher Teile |
|---|---|
Die Zahl der Teile bildet die Folge .
Jedes Glied entsteht durch Multiplikation des vorherigen Gliedes mit . Der konstante Faktor ist also .
Die allgemeine Formel für eine geometrische Folge lautet:
Dabei gilt:
Der Exponent lautet , weil vom ersten bis zum -ten Glied genau Multiplikationen mit nötig sind.
Bei einem positiven ersten Glied bestimmt der Faktor das grundlegende Verhalten:
Aus diesem Grund stellt eine geometrische Folge nicht immer ein Wachstum dar.
Angenommen, eine idealisierte Bakterienkultur verdreifacht sich alle . Das ist ein mathematisches Modell mit konstantem Wachstumsfaktor. Es behauptet nicht, dass sich eine einzelne Bakterienzelle buchstäblich in drei Zellen teilt.
Wenn die anfängliche Bakterienzahl beträgt, dann:
In durchläuft die Kultur , weil .
Die Zählung beginnt bei Index , damit der Anfangsbestand klar vom ersten abgeschlossenen Wachstumsintervall getrennt bleibt. Nach Intervallen gilt:
Nach dem idealisierten Modell enthält die Kultur also nach .
Sofern das vorherige Glied nicht null ist, kann der Faktor als Quotient aus dem nächsten und dem vorherigen Glied berechnet werden:
Das allgemeine Glied wird direkt mit folgender Formel berechnet:
Geometrische Folgen dienen als Modelle für Vorgänge mit konstantem Faktor, zum Beispiel:
Damit lassen sich idealisierte Vorgänge mit Wachstum oder Abnahme um einen konstanten Faktor beschreiben.
Prüfe stets, ob ein Modell mit konstantem Faktor für die Situation und den untersuchten Zeitraum sinnvoll ist. Reale Populationen stoßen irgendwann an Grenzen, die dieses einfache Modell nicht berücksichtigt.
Das erste Glied einer geometrischen Folge ist , und das Glied an Position ist . Bestimme den Faktor.
Lösung:
Gegeben:
Wir setzen die bekannten Werte in das allgemeine Glied ein:
Der konstante Faktor beträgt somit .
Ein Seil wird in geteilt, deren positive Längen in aufsteigender Reihenfolge eine geometrische Folge bilden. Das kürzeste Stück ist lang, das längste . Bestimme die Länge des dritten Stücks.
Lösung:
Gegeben:
Zuerst bestimmen wir den Faktor:
Anschließend berechnen wir die Länge des dritten Stücks :
Das dritte Stück ist somit lang.