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Jedes Glied dieser Folge wächst um :
Die aufeinanderfolgenden Differenzen sind:
Da die Differenz zwischen aufeinanderfolgenden Gliedern immer beträgt, ist dies eine arithmetische Folge mit der gemeinsamen Differenz .
Die gemeinsame Differenz wird bestimmt, indem man jeweils ein Glied vom folgenden Glied abzieht:
Dabei gilt:
Zwei Formen beschreiben dieselbe arithmetische Folge. Die allgemeine Formel liefert jedes Glied aus seiner Position mit dem ersten Glied und der gemeinsamen Differenz. Die rekursive Form erzeugt jedes Glied aus dem vorherigen Glied.
Das -te Glied einer arithmetischen Folge lässt sich mit folgender Formel bestimmen:
Dabei gilt:
Schreiben wir die ersten Glieder einer arithmetischen Folge aus:
Vom ersten zum vierten Glied brauchst du drei Schritte, nicht vier. Bei jedem Schritt addierst du dieselbe Differenz.
| Gliednummer | Anzahl der Additionen | Gliedwert |
|---|---|---|
| 1 | 0 | |
| 2 | 1 | |
| 3 | 2 | |
| 4 | 3 | |
| 5 | 4 |
Das Muster führt für das -te Glied zur allgemeinen Formel:
Dieselbe arithmetische Folge kann auch durch ihr erstes Glied und eine Regel für das jeweils nächste Glied definiert werden:
Die explizite Formel liefert jedes Glied direkt. Die rekursive Form baut die Folge dagegen Glied für Glied auf.
Jedes Beispiel unten nennt einen Startwert und eine konstante Änderung pro Schritt. Im Beispiel mit dem Theatersaal wächst die Sitzzahl pro Reihe um vier Sitze, und die allgemeine Formel liefert die Sitzzahl für jede Reihennummer.
In diesem Theater wächst die Zahl der Sitzplätze von Reihe zu Reihe:
Um die Zahl der Plätze in einer beliebigen Reihe zu bestimmen, suchen wir zunächst die gemeinsame Differenz.
Schritt 1: Gemeinsame Differenz zwischen benachbarten Sitzreihen bestimmen
Die Zahl der Sitzplätze steigt von einer Reihe zur nächsten stets um . Damit bilden die Sitzplatzanzahlen eine arithmetische Folge mit:
Schritt 2: Zahl der Sitzplätze in Reihe berechnen
Es gibt also Sitzplätze in Reihe .
Dieses Ergebnis zählt die Plätze einer einzigen Reihe, der . Sitzreihe. Für die Gesamtzahl der Plätze in den ersten fünfzehn Reihen summierst du die zugehörige arithmetische Reihe.
Eine arithmetische Folge steigt für , fällt für und bleibt für konstant. Zum Beispiel:
Das Vorzeichen der gemeinsamen Differenz zeigt somit, wie sich die Folge entwickelt.
Diese Aufgabe gibt zwei Glieder einer arithmetischen Folge an bekannten Positionen und verlangt die allgemeine Formel. Jede Position ergibt eine Gleichung, und die gemeinsame Lösung beider Gleichungen liefert das erste Glied und die gemeinsame Differenz.
In einer arithmetischen Folge ist das . Glied gleich und das . Glied gleich . Bestimme eine Formel für das -te Glied.
Für die allgemeine Formel benötigen wir das erste Glied und die gemeinsame Differenz .
Wir subtrahieren die erste Gleichung von der zweiten und bestimmen so :
Anschließend setzen wir in die erste Gleichung ein und bestimmen :
Mit und erhalten wir das -te Glied:
Die Formel lautet also .
Zur Kontrolle setzen wir und ein. Dabei müssen die beiden gegebenen Glieder wieder entstehen:
Rudi zahlt jeden Monat einen Betrag auf sein Bankkonto ein. Der Einzahlungsbetrag steigt monatlich um einen konstanten Wert. Im . Monat zahlt er ein, im . Monat .
Um welchen Betrag steigt die monatliche Einzahlung?
Wie hoch war die Einzahlung im ersten Monat?
Jedes Glied beschreibt die Einzahlung eines Monats, nicht den Kontostand. Zwischen dem fünften und dem neunten Monat liegen vier Monate. Die Differenz der Einzahlungen umfasst deshalb vier gleiche Erhöhungen.
Aufgabe 1. Schreibe die Einzahlungen im fünften und neunten Monat mit der Formel für das allgemeine Glied auf, um die monatliche Zunahme zu bestimmen:
Wir subtrahieren Gleichung 1 von Gleichung 2:
Die monatliche Einzahlung steigt also um .
Aufgabe 2. Für die Einzahlung im ersten Monat setzen wir in Gleichung (1) ein und bestimmen :
Im ersten Monat zahlte Rudi somit ein.
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