Arithmetische Reihe

Zahlen von eins bis hundert paarweise addieren

Eine bekannte Anekdote über Carl Friedrich Gauß zeigt eine geschickte Methode zum Addieren vieler Zahlen. Darin sollen die Schüler alle Zahlen von $1$ bis $100$ addieren: $1 + 2 + 3 + \dots + 98 + 99 + 100$.

Gauß paart geschickt den Anfang mit dem Ende. Eine Summe aus den Gliedern einer arithmetischen Folge heißt arithmetische Reihe.

Beispielsweise ist $1, 2, 3, \dots, 100$ eine arithmetische Folge mit dem ersten Glied $a=1$ und der gemeinsamen Differenz $b=1$. Die zugehörige arithmetische Reihe lautet $1 + 2 + 3 + \dots + 100$.

Die Paarung der Randterme

Gauß nutzt folgendes Muster:

Es gibt $50$ Zahlenpaare, die jeweils $101$ ergeben. Damit beträgt die Gesamtsumme $50 \times 101 = 5050$.

Finden der allgemeinen Formel

Mit derselben Idee lässt sich eine allgemeine Formel für die Summe der ersten $n$ Glieder herleiten. Diese Summe wird mit $S_n$ bezeichnet.

Ausgangspunkt ist eine arithmetische Reihe:

Mit dem ersten Glied $(a)$ und der gemeinsamen Differenz $(b)$ ausgeschrieben ergibt sich:

Nun schreiben wir dieselbe Summe $S_n$ in umgekehrter Reihenfolge:

Ausgeschrieben:

Anschließend addieren wir beide Darstellungen von $S_n$ gliedweise:

Jedes übereinanderstehende Gliedpaar hat dieselbe Summe $2a + (n-1)b$. Da jede Zeile $n$ Glieder enthält, entstehen $n$ identische Paarsummen.

Daraus folgt:

Nach Division durch $2$ erhalten wir die Summe der ersten $n$ Glieder:

Die Herleitung gilt für gerade und ungerade Werte von $n$. Bei ungeradem $n$ wird das mittlere Glied korrekt erfasst, weil zwei vollständige Kopien der Reihe addiert und die Summe anschließend halbiert wird.

Praktische Formeln für arithmetische Reihen

Für $S_n$ sind zwei gleichwertige Formen besonders praktisch:

1. Wenn das erste Glied $a$ und die gemeinsame Differenz $b$ bekannt sind:

   $$S_n = \frac{n}{2}(2a + (n - 1)b)$$

2. Wenn das erste Glied $a$ und das letzte Glied $U_n$ bekannt sind: Für das $n$-te Glied gilt $U_n = a + (n-1)b$. Setzen wir diesen Ausdruck in die erste Formel ein:

   $$S_n = \frac{n}{2}(a + a + (n - 1)b)$$

   $$S_n = \frac{n}{2}(a + U_n)$$

   Die zweite Formel bedeutet Gliederanzahl mal Mittelwert aus erstem und letztem Glied. Dieser Mittelwert ist $(a+U_n)/2$. Deshalb gilt die Formel auch bei einer ungeraden Gliederanzahl.

Notation:

• $S_n$ = Summe der ersten $n$ Glieder
• $n$ = Anzahl der Glieder
• $a$ = erstes Glied $U_1$
• $b$ = gemeinsame Differenz
• $U_n$ = $n$-tes Glied

Zwei arithmetische Reihen berechnen

Beide Aufgaben unten liefern die Glieder, die eine Summenformel braucht. Setze die Werte zuerst ein und vergleiche dein Ergebnis dann mit der Lösung. Prüfe in jeder Aufgabe zuerst, ob die Reihe arithmetisch ist, denn davon hängt die passende Formel ab.

Die ganzen Zahlen von eins bis hundert addieren

Berechnen wir die Summe $1 + 2 + 3 + \dots + 98 + 99 + 100$ nun mit der Formel.

Gegeben:

• Erstes Glied $a = 1$
• Letztes Glied $U_n = U_{100} = 100$
• Anzahl der Glieder $n = 100$

Da $a$ und $U_n$ bekannt sind, bietet sich die zweite Formel an:

Das Ergebnis stimmt mit der Paarungsmethode überein.

Erstes Glied und gemeinsame Differenz verwenden

Gegeben ist die arithmetische Reihe $13 + 16 + 19 + 22 + \dots$. Gesucht ist die Summe der ersten $30$ Glieder $(S_{30})$.

Gegeben:

• Erstes Glied $a = 13$
• Gemeinsame Differenz $b = 16 - 13 = 3$
• Anzahl der Glieder $n = 30$

Da $a$ und $b$ bekannt sind, verwenden wir die erste Formel:

Die Summe der ersten $30$ Glieder beträgt $1695$.

Anwendung auf eine Theaterbestuhlung

Ein Theater hat $20$ Sitzplätze in der ersten Reihe und $4$ weitere Sitzplätze in jeder folgenden Reihe. Die Anzahl der Sitzplätze in Reihe $15$ und die Gesamtzahl in den ersten fünfzehn Reihen betragen:

Das erste Ergebnis beschreibt nur die $15$. Sitzreihe. Das zweite zählt alle Plätze in den ersten fünfzehn Reihen. Ein Folgenglied und eine Reihensumme beantworten also unterschiedliche Fragen.

Übung

Berechne die endliche arithmetische Reihe:

Lösung

Bestimme zunächst die Anzahl der Glieder. Die gemeinsame Differenz beträgt $5$:

Die Summe ist somit $1110$.