Grundlagen von Reihen

Eine Zahlenreihe wird gebildet, indem die Glieder einer Zahlenfolge in der angegebenen Reihenfolge addiert werden. Zwei gängige Beispiele sind eine arithmetische Reihe, deren Glieder aus einer arithmetischen Folge stammen, und eine geometrische Reihe, deren Glieder aus einer geometrischen Folge stammen.

Das Händedruckproblem macht dieses Konzept anschaulich.

Partialsummen verbinden eine Folge mit ihrer Reihe

Für eine Folge $(U_n)$ ist die Summe ihrer ersten $n$ Glieder die $n$-te Teilsumme:

Endliche Probleme erfordern eine bestimmte Teilsumme. Für eine unendliche Reihe untersuchen wir, ob sich die Folge $(S_n)$ einem endlichen Grenzwert nähert, wenn $n$ wächst.

Anzahl der Handshakes

In einer Gruppe schüttelt jede Person jeder anderen Person genau einmal die Hand. Wie viele Händedrücke gibt es insgesamt?

Wir zählen schrittweise:

• Bei $2 \text{Personen}$: Es gibt genau $1 \text{Händedruck}$.
• Bei $3 \text{Personen}$: Die erste Person begrüßt $2 \text{Personen}$. Die zweite Person hat die erste bereits begrüßt und schüttelt nur noch der dritten die Hand. Insgesamt sind das $2 + 1 = 3 \text{Händedrücke}$.
• Bei $4 \text{Personen}$: Nach demselben Muster ergeben sich $3 + 2 + 1 = 6 \text{Händedrücke}$.
• Bei $5 \text{Personen}$: Insgesamt sind es $4 + 3 + 2 + 1 = 10 \text{Händedrücke}$.

Die Anzahl der Händedrücke bildet also eine fortlaufende Summe natürlicher Zahlen.

Summen wie $1+2+3+4$ sind Beispiele für eine Zahlenreihe. Hier entsteht die Reihe aus den Gliedern der Folge natürlicher Zahlen $(1, 2, 3, 4, ...)$.

Jedes Paar muss genau einmal gezählt werden. Würde man die Handschläge jeder Person einzeln zählen, würde jedes Paar zweimal gezählt, einmal aus der Sicht jeder Person.

Ein zweiter Zählweg

Ein Händedruck ist ein ungeordnetes Personenpaar. Die Anzahl der aus $n$ Personen ausgewählten Paare beträgt:

Für $n=5$ ergibt dies $\binom52=10$, passend zur sequentiellen Summe.

Bildet das eine besondere Folge?

Die Folge der Anzahlen $(1, 3, 6, 10, ...)$ ist weder arithmetisch noch geometrisch. Sie besitzt weder eine konstante Differenz noch einen konstanten Quotienten zwischen aufeinanderfolgenden Gliedern ($3-1=2$, $6-3=3$, $10-6=4$).

Die Aufschlüsselung der Händedrücke ($1$, $1+2$, $1+2+3$, $1+2+3+4$) zeigt dagegen eindeutig die Summe von Folgengliedern, hier der natürlichen Zahlen. Genau das ist der Kern einer Reihe.

Das Händedruckproblem zeigt damit, wie eine Reihe aus der Summe von Folgengliedern entsteht.

Übung

Wie viele Händedrücke gibt es bei $12 \text{Personen}$, wenn sich jedes Paar genau einmal die Hand schüttelt?

Die sequentielle Summenmethode ergibt:

Die Paarzählformel liefert direkt das gleiche Ergebnis:

Es gibt also $66 \text{Händedrücke}$.