Zahlen von eins bis hundert paarweise addieren
Eine bekannte Anekdote über Carl Friedrich Gauß zeigt eine geschickte Methode zum Addieren vieler Zahlen. Darin sollen die Schüler alle Zahlen von bis addieren: .
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Gauß paart geschickt den Anfang mit dem Ende. Eine Summe aus den Gliedern einer arithmetischen Folge heißt arithmetische Reihe.
Beispielsweise ist eine arithmetische Folge mit dem ersten Glied und der gemeinsamen Differenz . Die zugehörige arithmetische Reihe lautet .
Gauß nutzt folgendes Muster:
| Paar | Vom Anfang | Vom Ende | Summe |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 100 | 101 |
| 2 | 2 | 99 | 101 |
| 3 | 3 | 98 | 101 |
| … | … | … | … |
| 50 | 50 | 51 | 101 |
Es gibt Zahlenpaare, die jeweils ergeben. Damit beträgt die Gesamtsumme .
Mit derselben Idee lässt sich eine allgemeine Formel für die Summe der ersten Glieder herleiten. Diese Summe wird mit bezeichnet.
Ausgangspunkt ist eine arithmetische Reihe:
Mit dem ersten Glied und der gemeinsamen Differenz ausgeschrieben ergibt sich:
Nun schreiben wir dieselbe Summe in umgekehrter Reihenfolge:
Ausgeschrieben:
Anschließend addieren wir beide Darstellungen von gliedweise:
Jedes übereinanderstehende Gliedpaar hat dieselbe Summe . Da jede Zeile Glieder enthält, entstehen identische Paarsummen.
Daraus folgt:
Nach Division durch erhalten wir die Summe der ersten Glieder:
Die Herleitung gilt für gerade und ungerade Werte von . Bei ungeradem wird das mittlere Glied korrekt erfasst, weil zwei vollständige Kopien der Reihe addiert und die Summe anschließend halbiert wird.
Für sind zwei gleichwertige Formen besonders praktisch:
Wenn das erste Glied und die gemeinsame Differenz bekannt sind:
Wenn das erste Glied und das letzte Glied bekannt sind: Für das -te Glied gilt . Setzen wir diesen Ausdruck in die erste Formel ein:
Notation:
Beide Aufgaben unten liefern die Glieder, die eine Summenformel braucht. Setze die Werte zuerst ein und vergleiche dein Ergebnis dann mit der Lösung. Prüfe in jeder Aufgabe zuerst, ob die Reihe arithmetisch ist, denn davon hängt die passende Formel ab.
Berechnen wir die Summe nun mit der Formel.
Gegeben:
Da und bekannt sind, bietet sich die zweite Formel an:
Das Ergebnis stimmt mit der Paarungsmethode überein.
Gegeben ist die arithmetische Reihe . Gesucht ist die Summe der ersten Glieder .
Gegeben:
Da und bekannt sind, verwenden wir die erste Formel:
Die Summe der ersten Glieder beträgt .
Ein Theater hat Sitzplätze in der ersten Reihe und weitere Sitzplätze in jeder folgenden Reihe. Die Anzahl der Sitzplätze in Reihe und die Gesamtzahl in den ersten fünfzehn Reihen betragen:
Das erste Ergebnis beschreibt nur die . Sitzreihe. Das zweite zählt alle Plätze in den ersten fünfzehn Reihen. Ein Folgenglied und eine Reihensumme beantworten also unterschiedliche Fragen.
Berechne die endliche arithmetische Reihe:
Bestimme zunächst die Anzahl der Glieder. Die gemeinsame Differenz beträgt :
Die Summe ist somit .
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Die zweite Formel bedeutet Gliederanzahl mal Mittelwert aus erstem und letztem Glied. Dieser Mittelwert ist . Deshalb gilt die Formel auch bei einer ungeraden Gliederanzahl.