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Eine Folge ist eine geordnete Liste von Zahlen, die durch ein bestimmtes Muster oder eine Regel beschrieben wird. Jede Zahl der Liste heißt Glied.
Beispiele:
Im Mittelpunkt stehen die einzelnen Glieder, ihre Reihenfolge und ihre Bildungsvorschrift.
Als Bild kann man sich eine Treppe vorstellen: Jede Stufe hat ihren festen Platz, genau wie jedes Folgenglied seinen Index.
Bei einer Reihe addieren wir die Glieder einer Folge. Eine Reihe ist der Summenausdruck, der aus diesen Gliedern entsteht.
Für die Folgen von oben entstehen beispielsweise:
Bei endlich vielen Gliedern steht die Partialsumme bis zum -ten Glied im Mittelpunkt. Sie wird meist mit bezeichnet.
Im Treppenbild können die Folgenglieder einzelne Stufenhöhen darstellen. Die zugehörige Reihe beschreibt dann die insgesamt überwundene Höhe nach mehreren Stufen.
| Aspekt | Folge | Reihe |
|---|---|---|
| Darstellung | Geordnete Liste, deren Glieder durch Kommas getrennt sind, etwa | Summe, deren Glieder durch Pluszeichen verbunden sind, etwa |
| Fokus | Muster und Wert jedes einzelnen Gliedes | Wert der Summe |
| Treppenbild | Einzelne Stufenhöhen | Insgesamt überwundene Höhe |
Die Summe der ersten Glieder einer Folge ist die -te Partialsumme:
Eine Folge erzeugt damit eine neue Folge von Partialsummen. Für gilt:
Die Partialsummenfolge ist nicht mit der ursprünglichen Folge identisch und auch nicht bloß eine andere Schreibweise dafür.
ist eine endliche Summe aus zwanzig Gliedern. Bei einer unendlichen Reihe fragen wir, ob sich für einem Grenzwert nähert.
Eine unendliche Reihe wird daher über den Grenzwert ihrer Partialsummen verstanden, nicht als abgeschlossener Rechenvorgang, bei dem unendlich viele Glieder nacheinander addiert werden.
Gegeben ist die Folge :
