Folgen und Reihen im Vergleich

Folge

Eine Zahlenliste, die einer Regel folgt, heißt Folge, und jede Zahl der Liste ist ein Glied. Die Position jedes Gliedes bestimmt die Reihenfolge. Vertauschst du zwei Glieder mit unterschiedlichen Werten, erhältst du eine andere Folge.

Glieder und Reihenfolge einer Folge

Eine Bildungsvorschrift bestimmt den Wert an jeder Position. Für die geraden Zahlen multiplizierst du die Position mit zwei. Für die Quadratzahlen quadrierst du die Position. Diese beiden Beispiele besitzen schon an der ersten Position unterschiedliche Werte.

• Folge der geraden Zahlen: $2, 4, 6, 8, \dots$
• Folge der Quadratzahlen: $1, 4, 9, 16, \dots$

In beiden Beispielen hält die Folge jedes einzelne Glied und die Bildungsvorschrift für das nächste Glied fest.

Reihe

Eine Reihe wird als Summe von Folgengliedern geschrieben. Die Partialsumme $S_n$ addiert die ersten $n$ Glieder. Kommt ein weiteres Glied hinzu, ändert sich die Partialsumme um dessen Wert. Ist das neue Glied null, bleibt die Partialsumme unverändert.

Eine Reihe als Summe

Eine Reihe addiert die Glieder einer Folge, und die Pluszeichen zwischen den Gliedern zeigen diese Addition. Aus jeder der beiden Beispielfolgen entsteht eine eigene Reihe.

• Reihe gerader Zahlen: $2 + 4 + 6 + 8 + \dots$
• Reihe von Quadraten: $1 + 4 + 9 + 16 + \dots$

Wenn die Glieder nach dem $n$-ten Glied enden, ist der Wert der Summe die Partialsumme, meist mit $S_n$ bezeichnet.

Unterschied zwischen Folge und Reihe

Die Tabelle stellt beide Formen nebeneinander. Eine Folge hält die Glieder in ihrer Reihenfolge, und eine Reihe beschreibt die Addition dieser Glieder.

Partialsummen aus Folgengliedern

Die Summe der ersten $n$ Glieder einer Folge ist die $n$-te Partialsumme:

Eine Folge $(a_n)$ erzeugt damit eine neue Folge $(S_n)$ von Partialsummen. Für $a_n=n$ gilt:

Die Summe der Glieder von $a_n=n$ ergibt eine neue Folge, nämlich $1, 3, 6, 10, \dots$, und diese Partialsummen wachsen schneller als die ursprünglichen Glieder.

Endliche und unendliche Summen

$S_{20}$ ist eine endliche Summe aus zwanzig Gliedern. Bei einer unendlichen Reihe fragen wir, ob sich $S_n$ für $n\to\infty$ einem Grenzwert nähert.

Eine unendliche Reihe wird über den Grenzwert ihrer Partialsummen verstanden. Nähern sich die Partialsummen einem festen Wert, konvergiert die unendliche Reihe. Das Thema konvergente und divergente Reihen nutzt diesen Grenzwert, um Reihen mit festem Wert von den übrigen zu trennen.

Übung

Gegeben ist die Folge $a_n=2n$. Notiere die ersten vier Glieder und bestimme danach die ersten vier Partialsummen. Halte beide Listen getrennt, denn ein Glied beschreibt eine Position, während eine Partialsumme alle Glieder bis zu dieser Position aufsummiert.

1. Notiere die ersten vier Glieder.
2. Bestimme die ersten vier Partialsummen.

Lösung

Setzt du $n=1,2,3,4$ in $a_n=2n$ ein, erhältst du die ersten vier Glieder, und das schrittweise Addieren dieser Glieder liefert die Partialsummen.