Zahlenfolgen verstehen
Eine Zahlenfolge ordnet jedem Index ein Glied zu. Zwei häufige Typen sind arithmetische Folgen und
geometrische Folgen.
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Eine Zahlenfolge ordnet jedem Index ein Glied zu. Zwei häufige Typen sind arithmetische Folgen und
geometrische Folgen.
Bei einer arithmetischen Folge ist die Differenz zwischen zwei aufeinanderfolgenden Gliedern konstant.
Für die Folge gilt also:
Dabei bezeichnet die gemeinsame Differenz.
Für eine arithmetische Folge mit dem ersten Glied und der gemeinsamen Differenz lautet das allgemeine Glied:
Bei einer geometrischen Folge ist der Quotient zweier aufeinanderfolgender Glieder konstant.
Für die Folge gilt, sofern die Nenner nicht null sind:
Dabei bezeichnet den gemeinsamen Quotienten. Die gleichwertige Multiplikationsregel bleibt auch für ein Nullglied sinnvoll.
Für eine geometrische Folge mit dem ersten Glied und dem Quotienten lautet das allgemeine Glied:
Prüfe nacheinander Differenzen und Quotienten:
Arithmetische Folge: Berechne die Differenzen aufeinanderfolgender Glieder. Sind sie konstant, ist die Folge arithmetisch.
Geometrische Folge: Berechne die Quotienten aufeinanderfolgender Glieder, sofern die Nenner nicht null sind. Sind sie konstant, ist die Folge geometrisch.
| Aspekt | Arithmetische Folge | Geometrische Folge |
|---|---|---|
| Muster | Konstante Differenz | Konstanter Quotient |
| Allgemeines Glied | ||
| Bildung des nächsten Glieds | Eine Konstante addieren | Mit einer Konstanten multiplizieren |
Die Folge hat konstante Differenzen:
Sie ist daher arithmetisch. Für die Folge gilt:
Sie ist geometrisch mit . Die Folge ist weder arithmetisch noch geometrisch: Ihre Differenzen sind nicht konstant, und auch die Quotienten stimmen nicht überein.
Eine nichtkonstante arithmetische Folge hängt linear von ihrem Index ab. Eine geometrische Folge mit einem positiven Quotienten ungleich eins hängt exponentiell vom Index ab. Diese Begriffe beschreiben die mathematische Form. Sie bedeuten nicht, dass ein realer Vorgang unbegrenzt nach demselben Modell weiterläuft.
Wenn man jeden Monat denselben Betrag addiert, entsteht ein arithmetisches Modell. Eine monatliche Änderung um denselben Prozentsatz führt dagegen zu einem geometrischen Modell.
Die konstante Nullfolge ist arithmetisch mit und erfüllt zugleich für jeden Wert von . Eine konstante Folge ungleich Null ist arithmetisch mit und geometrisch mit .
Daher überschneiden sich in diesen Spezialfällen die arithmetischen und geometrischen Kategorien.
Regelmäßiges Sparen: Ein Schüler zahlt im ersten Monat , im zweiten und im dritten in die Schülergenossenschaft ein. Bei der Differenz lässt sich der Einzahlungsbetrag im . Monat mit der Formel für arithmetische Folgen berechnen.
Pflanzenwachstum: In einem vereinfachten Modell wächst eine Pflanze jede Woche um und ist anfangs hoch. Die modellierte Höhe bildet dann eine arithmetische Folge.
Anlage mit Zinseszins: Werden ohne Einzahlungen oder Entnahmen angelegt und die Zinsen von jährlich gutgeschrieben, bildet der Wert am Ende jedes Jahres eine geometrische Folge mit dem Quotienten .
Idealisiertes Populationswachstum: Verdoppelt sich eine modellierte Bakterienpopulation stündlich, entsteht eine geometrische Folge mit dem Quotienten . Reale Populationen stoßen irgendwann an Grenzen, die dieses einfache Modell nicht abbildet.
Klassifiziere jede Folge und bestimme, sofern möglich, oder :