Arithmetische und geometrische Folgen im Vergleich

Zahlenfolgen

Eine Zahlenfolge ordnet jeder Position ein Glied zu. Zwei häufige Typen sind arithmetische Folgen und geometrische Folgen. Eine arithmetische Folge addiert von Glied zu Glied einen festen Wert, eine geometrische multipliziert mit einem festen Wert, und dieser Unterschied bestimmt, welche Formeln gelten.

Arithmetische Folgen

Eine arithmetische Folge geht vom einen Glied zum nächsten über, indem sie jedes Mal dieselbe Zahl addiert. Die Definition unten hält diese Regel fest, und das allgemeine Glied liefert jedes Glied aus seiner Position.

Definition arithmetischer Folgen

Bei einer arithmetischen Folge ist die Differenz zwischen zwei aufeinanderfolgenden Gliedern konstant.

Für die Folge $a_1, a_2, a_3, ..., a_n$ gilt also:

Dabei bezeichnet $b$ die gemeinsame Differenz.

Allgemeines Glied einer arithmetischen Folge

Für eine arithmetische Folge mit dem ersten Glied $a$ und der gemeinsamen Differenz $b$ lautet das allgemeine Glied:

Geometrische Folgen

Eine geometrische Folge geht vom einen Glied zum nächsten über, indem sie jedes Mal mit derselben Zahl multipliziert. Quotienten beschreiben diese Regel, und das allgemeine Glied liefert wieder jedes Glied aus seiner Position.

Definition geometrischer Folgen

Bei einer geometrischen Folge ist der Quotient zweier aufeinanderfolgender Glieder konstant.

Für die Folge $a_1, a_2, a_3, ..., a_n$ gilt, sofern die Nenner nicht null sind:

Dabei bezeichnet $r$ den gemeinsamen Quotienten. Die gleichwertige Multiplikationsregel $a_{n+1}=ra_n$ bleibt auch für ein Nullglied sinnvoll.

Allgemeines Glied einer geometrischen Folge

Für eine geometrische Folge mit dem ersten Glied $a$ und dem Quotienten $r$ lautet das allgemeine Glied:

Die Formel gilt für positive ganzzahlige Gliednummern und $r\ne0$. Für $r=0$ setzt du $U_1=a$ und $U_n=0$ für $n\ge2$. Wie bei arithmetischen Folgen ist beim ersten Glied noch kein Rechenschritt nötig. Daher steht im Exponenten $n-1$.

Arithmetische und geometrische Folgen vergleichen

Beide Typen wiederholen eine Operation, und die wiederholte Operation bestimmt den Folgentyp. Die Tabelle und die Beispiele unten zeigen, wie du beide auseinanderhältst. Vergleiche die Spalte für die Differenz mit der Spalte für den Quotienten, denn genau dieser Vergleich wird bei der Klassifikation verlangt.

So wird der Folgentyp bestimmt

Prüfe nacheinander Differenzen und Quotienten:

1. Arithmetische Folge: Berechne die Differenzen aufeinanderfolgender Glieder. Sind sie konstant, ist die Folge arithmetisch.

   $$\begin{aligned} b &= a_2 - a_1 \\ &= a_3 - a_2 \\ &= a_4 - a_3 \\ &= ... \end{aligned}$$

2. Geometrische Folge: Berechne die Quotienten aufeinanderfolgender Glieder, sofern die Nenner nicht null sind. Sind sie konstant, ist die Folge geometrisch.

   $$r = \frac{a_2}{a_1} = \frac{a_3}{a_2} = \frac{a_4}{a_3} = ...$$

Muster und Formel im Vergleich

Die Tabelle stellt beide Typen nebeneinander, sodass sich die beiden Formeln Zeile für Zeile vergleichen lassen.

Ausführliche Klassifizierungsbeispiele

Die Folge $7,11,15,19,\ldots$ hat konstante Differenzen:

Die Folge $7,11,15,19,\ldots$ ist daher arithmetisch. Für die Folge $5,10,20,40,\ldots$ gilt:

Die Folge $5,10,20,40,\ldots$ ist geometrisch mit $r=2$. Die Folge $1,2,4,7,\ldots$ ist weder arithmetisch noch geometrisch: Ihre Differenzen $1,2,3$ sind nicht konstant, und auch die Quotienten stimmen nicht überein.

Lineare und exponentielle Modelle

Eine nichtkonstante arithmetische Folge hängt linear von ihrem Index ab. Eine geometrische Folge mit einem positiven Quotienten ungleich eins hängt exponentiell vom Index ab. Diese Begriffe beschreiben die mathematische Form. Sie bedeuten nicht, dass ein realer Vorgang unbegrenzt nach demselben Modell weiterläuft.

Wenn man jeden Monat denselben Betrag addiert, entsteht ein arithmetisches Modell. Eine monatliche Änderung um denselben Prozentsatz führt dagegen zu einem geometrischen Modell.

Sonderfälle

Die konstante Nullfolge ist arithmetisch mit $b=0$ und erfüllt zugleich $a_{n+1}=ra_n$ für jeden Wert von $r$. Eine konstante Folge ungleich Null ist arithmetisch mit $b=0$ und geometrisch mit $r=1$.

Daher überschneiden sich in diesen Spezialfällen die arithmetischen und geometrischen Kategorien.

Arithmetische und geometrische Modelle

In jedem Beispiel unten stehen ein Startwert und eine wiederkehrende Änderung. Die Beispiele nennen das Muster und den Wert von $b$ oder $r$. Bestimme beide Werte zuerst selbst, bevor du die beschriftete Lösung liest, und prüfe dann, ob das gefundene Muster jedes Glied erzeugt.

Beispiele für arithmetische Folgen

Jeder Schritt addiert denselben Betrag, also bleibt die Differenz $b$ konstant.

1. Regelmäßiges Sparen: Ein Schüler zahlt im ersten Monat $\text{Rp}5{.}000$, im zweiten $\text{Rp}7{.}000$ und im dritten $\text{Rp}9{.}000$ in die Schülergenossenschaft ein. Bei der Differenz $\text{Rp}2{.}000$ lässt sich der Einzahlungsbetrag im $10$. Monat mit der Formel für arithmetische Folgen berechnen.

   Die Einzahlung im zehnten Monat beträgt:

   $$U_{10}=5{.}000+(10-1)2{.}000=23{.}000$$

2. Pflanzenwachstum: In einem vereinfachten Modell wächst eine Pflanze jede Woche um $3 \text{ cm}$ und ist anfangs $15 \text{ cm}$ hoch. Die modellierte Höhe bildet dann eine arithmetische Folge.

   Am Ende der dritten Woche beträgt die Höhe:

   $$H(3)=15+3\cdot3=24\text{ cm}$$

Beispiele für geometrische Folgen

Jeder Schritt multipliziert mit demselben Faktor, also bleibt der Quotient $r$ konstant.

1. Anlage mit Zinseszins: Werden $\text{Rp}1{.}000{.}000$ ohne Einzahlungen oder Entnahmen angelegt und die Zinsen von $10\%$ jährlich gutgeschrieben, bildet der Wert am Ende jedes Jahres eine geometrische Folge mit dem Quotienten $1{,}1$.

   Nach zwei Jahren beträgt das Guthaben:

   $$B(2)=1{.}000{.}000(1{,}1)^2=1{.}210{.}000$$

2. Idealisiertes Populationswachstum: Verdoppelt sich eine modellierte Bakterienpopulation stündlich, entsteht eine geometrische Folge mit dem Quotienten $2$. Reale Populationen stoßen irgendwann an Grenzen, die dieses einfache Modell nicht abbildet.

   Nach drei Verdopplungsintervallen ist die Bakterienzahl achtmal so groß wie der Anfangsbestand:

   $$B(3)=B_0\cdot2^3=8B_0$$

Übung

Klassifiziere jede Folge und bestimme, sofern möglich, $b$ oder $r$. Prüfe zuerst die Differenzen und wechsle erst dann zu den Quotienten, wenn die Differenzen nicht konstant sind. Auch eine Folge, die zu keinem der beiden Muster passt, braucht eine Antwort.

1. $18,12,6,0,\ldots$
2. $81,-27,9,-3,\ldots$
3. $2,4,8,14,\ldots$

Lösung

Berechne die Differenzen und Quotienten der gegebenen Glieder. Jeder Nenner eines Quotienten muss ungleich null sein. Bei der dritten Folge liefern die aufeinanderfolgenden Rechnungen unterschiedliche Ergebnisse, sodass beide Bedingungen scheitern.