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Für eine geometrische Folge lässt sich derselbe Zusammenhang über Quotienten ausdrücken, sofern alle benötigten Nenner ungleich null sind:
Jedes Glied entsteht also durch Multiplikation des vorherigen Gliedes mit dem Faktor . Die Quotientenform setzt von null verschiedene Nenner voraus. Die Multiplikationsregel bleibt dagegen auch dann gültig, wenn ein Glied null ist:
Bei einem einfachen Faltmodell verdoppelt jede Faltung die Zahl der Schichten. Falte ein rechteckiges Blatt Papier mehrmals in der Mitte.
Nach Falten entstehen gedanklich gleicher Größe. Nach dem zweiten Falten, also nach , sind es . Das Muster lautet:
| Anzahl der Falten | Anzahl gleicher Teile |
|---|---|
Die Zahl der Teile bildet die Folge .
Jedes Glied entsteht durch Multiplikation des vorherigen Gliedes mit . Der konstante Faktor ist also .
Für einen Faktor ungleich null und eine positive ganzzahlige Gliednummer gilt:
Für gilt und für . So musst du beim ersten Glied keinen Ausdruck auswerten.
Die Größen in dieser Formel bedeuten:
Der Exponent lautet , weil vom ersten bis zum -ten Glied genau Multiplikationen mit nötig sind.
Bei einem positiven ersten Glied bestimmt der Faktor das grundlegende Verhalten:
| Faktor | Erste Glieder mit Anfangswert 8 | Verhalten |
|---|---|---|
| Steigend | ||
| Nähert sich null | ||
| Konstant | ||
| Ab dem zweiten Glied null | ||
| Wechselnde Vorzeichen, wachsende Beträge | ||
| Wechselnde Vorzeichen, konstante Beträge | ||
| Wechselnde Vorzeichen, Beträge nähern sich null |
Aus diesem Grund stellt eine geometrische Folge nicht immer ein Wachstum dar.
Angenommen, die Anzahl der Bakterien in einer idealen Kultur verdreifacht sich alle . Der Faktor beschreibt, wie sich die Gesamtzahl der Bakterien in jedem Zeitabschnitt ändert.
Wenn die anfängliche Bakterienzahl beträgt, dann:
In durchläuft die Kultur , weil .
Die Zählung beginnt bei Index , damit der Anfangsbestand klar vom ersten abgeschlossenen Wachstumsintervall getrennt bleibt. Nach Intervallen gilt:
Nach dem idealisierten Modell enthält die Kultur also nach .
Jeder Vorgang unten wiederholt in jedem Schritt eine Multiplikation, sodass derselbe Faktor die ganze Liste bestimmt:
Ein Modell mit Wachstum oder Abnahme beschreibt den Vorgang nur, wenn in jedem Schritt derselbe Faktor gilt.
Prüfe stets, ob ein Modell mit konstantem Faktor für die Situation und den untersuchten Zeitraum sinnvoll ist. Reale Populationen stoßen irgendwann an Grenzen, die dieses einfache Modell nicht berücksichtigt.
Beide Beispiele geben einen Teil einer geometrischen Folge und fragen nach dem fehlenden Wert. Setze die bekannten Glieder in das allgemeine Glied ein und löse nach dem Unbekannten.
Das erste Glied einer geometrischen Folge ist , und das Glied an Position ist . Bestimme den Faktor.
Lösung:
Gegeben:
Wir setzen die bekannten Werte in das allgemeine Glied ein:
Der konstante Faktor beträgt somit .
Ein Seil wird in geteilt, deren positive Längen in aufsteigender Reihenfolge eine geometrische Folge bilden. Das kürzeste Stück ist lang, das längste . Bestimme die Länge des dritten Stücks.
Lösung:
Gegeben:
Alle Stücke haben positive Längen, also ist auch der Faktor positiv. Deshalb nehmen wir die positive vierte Wurzel:
Anschließend berechnen wir die Länge des dritten Stücks :
Das dritte Stück ist somit lang.
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