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Die Funktionszusammensetzung, bei der Funktionen nacheinander kombiniert werden, weist mehrere wichtige Eigenschaften auf, die wir kennen müssen. Untersuchen wir diese Eigenschaften anhand der folgenden Beispielfunktionen:
Die Definitionsmengen sind:
Die erste und häufigste Eigenschaft ist, dass die Reihenfolge, in der Funktionen zusammengesetzt sind, wichtig ist. Eine Änderung der Reihenfolge der Funktionen führt normalerweise zu einer anderen zusammengesetzten Funktion.
Im Allgemeinen ist ungleich .
Beispiel:
Vergleichen wir und .
Berechnung von :
Berechnung von :
Die beiden Polynomterme haben unterschiedliche Koeffizienten und beschreiben daher nicht dieselbe Funktion. Eine einzige Eingabe liefert außerdem ein direktes Gegenbeispiel:
Damit gilt als Aussage über die Funktionen. Andere Paare müssen auf dieselbe Weise geprüft werden; im Allgemeinen ist die Funktionskomposition nicht kommutativ.
Wenn wir drei oder mehr Funktionen mit passenden Definitions- und Zielmengen komponieren, hat die Klammerung keinen Einfluss auf das Endergebnis. Die Reihenfolge der Funktionen bleibt dabei unverändert. Beide Seiten werden nur auf ihrem gemeinsamen Definitionsbereich verglichen.
Mathematisch gesehen gilt für die Funktionen , und Folgendes:
Das bedeutet, dass wir zuerst mit und dann das Ergebnis mit zusammensetzen können. Alternativ können wir zuerst mit und dann mit dem Ergebnis zusammensetzen. Das Ergebnis wird das gleiche sein.
Beispiel:
Wir wollen prüfen, ob .
Berechnung von :
Wir kennen bereits .
Berechnung von :
Finden Sie zunächst :
Da beide Ergebnisse für gleich sind, gilt die assoziative Eigenschaft auf dem gemeinsamen Definitionsbereich: .
Diese assoziative Eigenschaft gilt auch für andere Kombinationen der Funktionsreihenfolge, wie z. B. und .
Eine Identitätsfunktion ordnet jedes Element einer Menge sich selbst zu. Für sei die Identität auf und die Identität auf .
Die Zusammensetzung mit der Identität der passenden Menge lässt unverändert:
Beispiel:
Mit und :
Beides ergibt wieder die Funktion .
Setzen Sie nun mit diesem Ergebnis zusammen:
