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Aus der Funktion entsteht die verschobene Funktion . Die Zahl gibt Richtung und Länge der Verschiebung an.
Sieh dir an, wo in der folgenden Gleichung steht. Die Zahl steht in der Klammer zusammen mit , denn sie verändert die Eingabe, bevor die Funktion arbeitet.
Für die gleiche Ausgabe wie bei der alten Eingabe muss die neue Eingabe erfüllen. Also gilt . Das erklärt die Richtung ohne auswendig gelernte Vorzeichenregeln.
Weil in der Klammer steht, wirkt sein Vorzeichen umgekehrt zur Leserichtung. Ziehst du eine positive Zahl von ab, verschiebt sich der Graph nach rechts. Addierst du eine positive Zahl, verschiebt er sich nach links.
| Wert von | Verschiebung des Graphen | Beispiel am Scheitelpunkt |
|---|---|---|
| Um nach rechts | wird zu | |
| Um nach links | wird zu | |
| Der Graph verschiebt sich nicht | bleibt an seinem Platz |
Alle drei Zeilen nutzen den Scheitelpunkt als Bezugspunkt, damit sich die Richtung leicht vergleichen lässt. Bei einer Funktion mit einem anderen Bezugspunkt wandert jeder Punkt um dieselbe Strecke in dieselbe Richtung.
Stell dir drei Parabeln in derselben Ebene vor. Sie haben genau dieselbe Form, ihre Scheitelpunkte liegen aber an unterschiedlichen horizontalen Positionen.
Die Scheitelpunkte liegen auf derselben Höhe. Vergleiche deshalb ihre waagerechten Koordinaten, um die Verschiebung abzulesen.
| Funktion | Scheitelpunkt | Verschiebung |
|---|---|---|
Dieselbe Regel gilt für die lineare Funktion . Bei einer Geraden ändert eine horizontale Verschiebung die Steigung nicht. Das Vorzeichen lässt sich deshalb noch leichter prüfen als bei einer Parabel.
Die violette Gerade ist die ursprüngliche Gerade mit der Steigung . Die orange Gerade gehört zu und ist um nach rechts verschoben. Die blaue Gerade gehört zu und ist um nach links verschoben. Alle drei Geraden bleiben parallel, weil sich die Steigung nicht ändert.
In beiden Beispielen kommt die Richtung der Verschiebung immer aus dem Vorzeichen in der Klammer. Das ist das Gegenteil einer vertikalen Verschiebung, die ihre Konstante außerhalb der Funktion addiert.
Wenn du die Richtung kennst, bleibt noch die Frage, welche Teile der Funktion mitwandern. Eine horizontale Verschiebung greift an der Eingabe an. Alles, was von der Lage von abhängt, bewegt sich also mit, während die Ausgabewerte gleich bleiben.
Betrachte einen Punkt auf dem Graphen von . Nach einer Verschiebung um liegt dieser Punkt als auf dem Graphen von . Der -Wert bleibt gleich, nur die -Koordinate wandert.
| Teil der Funktion | Vor der Verschiebung | Nach der Verschiebung um |
|---|---|---|
| Form des Graphen | Die ursprüngliche Form | Dieselbe Form, nur horizontal verschoben |
| Punkt | Auf dem Graphen von | Wandert zu |
| Definitionsbereich | Das ursprüngliche Intervall | Wird zu |
| Wertebereich | Die ursprünglichen Ausgabewerte | Dieselben Werte wie vorher |
Der Definitionsbereich wandert mit, weil er die erlaubten Werte von beschreibt. Der Wertebereich bleibt gleich, weil die Höhe des Graphen an jeder Stelle unverändert ist. Bei einer vertikalen Verschiebung tauschen die beiden Bereiche ihre Rollen.
Die Ausgabehöhe bleibt gleich am verschobenen Punkt, nicht bei unveränderter Eingabe. Beispielsweise gilt , obwohl im Allgemeinen von abweicht.
Bei der Exponentialkurve bleibt die waagerechte Asymptote unverändert. Den senkrechten Achsenabschnitt berechnest du bei der Eingabe null neu.
Die horizontale Asymptote bleibt bei , weil eine horizontale Verschiebung das Verhalten der Kurve für sehr große und sehr kleine nicht ändert. Die Funktion verschiebt sich um nach rechts, während um nach links wandert.
Berechne den senkrechten Achsenabschnitt neu mit der Eingabe null. Der alte Punkt wandert nach und liegt im Allgemeinen nicht mehr auf der senkrechten Achse. Der neue Achsenabschnitt lautet , sofern im Definitionsbereich liegt.
Die horizontale und die vertikale Verschiebung bewegen beide einen Graphen, greifen aber an unterschiedlichen Stellen der Vorschrift an. Dieser Unterschied entscheidet, welche Koordinate sich ändert.
| Merkmal | Horizontale Verschiebung | Vertikale Verschiebung |
|---|---|---|
| Vorschrift | ||
| Veränderter Teil | Die Funktionseingabe | Die Funktionsausgabe |
| Richtung der Verschiebung | Entlang der -Koordinate | Entlang der -Koordinate |
| Vorzeichen der Konstanten | Umgekehrt zur Leserichtung | Wie das Vorzeichen von |
| Definitionsbereich und Wertebereich | Der Definitionsbereich wandert, der Wertebereich bleibt | Der Definitionsbereich bleibt, der Wertebereich wandert |
Der wichtigste Unterschied ist die Lage der Konstanten. Eine Konstante in der Klammer verändert die Eingabe. Die Verschiebung läuft deshalb horizontal, und ihr Vorzeichen wirkt umgekehrt. Eine Konstante außerhalb der Klammer verändert die Ausgabe. Die Verschiebung läuft deshalb vertikal, und ihr Vorzeichen wirkt wie geschrieben.
Eine horizontale Streckung und Stauchung verändert die Breite des Graphen, eine vertikale Streckung und Stauchung den Abstand zur waagerechten Achse. Eine Verschiebung addiert dagegen einen festen Abstand. Bei kombinierten Funktionstransformationen kann Verschieben vor dem Skalieren eine andere Endlage ergeben als Verschieben danach.
Die drei Aufgaben nutzen die Vorzeichenregel, die du gerade gelernt hast. Rechne sie zuerst ohne die Lösungen und vergleiche danach deine Schritte mit den ausführlichen Rechenwegen.
Gegeben ist die Funktion . Bestimme die Gleichung nach einer horizontalen Verschiebung um nach rechts.
Der Graph der Funktion wird horizontal um nach links verschoben. Bestimme die Gleichung der verschobenen Funktion und danach den Definitionsbereich nach der Verschiebung.
Die Funktion wird so verschoben, dass der Punkt auf abgebildet wird. Bestimme die Verschiebungskonstante und die Gleichung der verschobenen Funktion.
Aufgabe 1. Ersetze jedes Vorkommen der Eingabe:
Horizontale Verschiebung nach rechts um :
Aufgabe 2. Für die Verschiebung um vier Einheiten nach links addierst du vier zum Argument der Funktion. Die Wurzelbedingung bestimmt den neuen Definitionsbereich.
Visualisierung:
Aufgabe 3. Punkt auf wird zu , was eine horizontale Verschiebung um nach rechts bedeutet. Die verschobene Funktion lautet .
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