Spiegelungsmatrix

Spiegelungsmatrix für die horizontale Achse

Bei der Spiegelung eines Punktes $(x,y)$ an der $x$ -Achse bleibt die $x$ -Koordinate erhalten, während die $y$ -Koordinate ihr Vorzeichen wechselt. Der Bildpunkt ist also $(x,-y)$ .

Wir beginnen mit $einer Matrix mit unbekannten Einträgen$ :

\begin{pmatrix} r & s \\ t & u \end{pmatrix}

Für die Spiegelung an der $x$ -Achse muss die Matrix Folgendes erfüllen:

\begin{pmatrix} r & s \\ t & u \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ -y \end{pmatrix}

Durch Gleichsetzung der Koeffizienten erhalten wir:

$rx + sy = 1x + 0y \implies r=1, s=0$
$tx + uy = 0x - 1y \implies t=0, u=-1$

Somit ist die Spiegelungsmatrix für die $x$ -Achse:

\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}

Spiegelungsmatrix für die vertikale Achse

Die Spiegelung eines Punktes $(x,y)$ an der $y$ -Achse ergibt $(-x,y)$ .

Nur die $waagerechte Koordinate wechselt das Vorzeichen$ . Die erste Zeile wählt ihr Negatives aus. Die zweite Zeile behält die senkrechte Koordinate bei.

\begin{pmatrix} r & s \\ t & u \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -x \\ y \end{pmatrix}

Dies ergibt $r=-1, s=0, t=0, u=1$ .

Die Matrix ist:

\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

Spiegelungsmatrix für die erste Winkelhalbierende

Die Spiegelung eines Punktes $(x,y)$ an der Geraden $y=x$ ergibt $(y,x)$ .

Diese Matrix $vertauscht die Koordinaten$ . Die Einsen liegen außerhalb der Hauptdiagonalen, weil die erste Zeile die senkrechte und die zweite die waagerechte Koordinate auswählt.

\begin{pmatrix} r & s \\ t & u \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix}

Dies ergibt $r=0, s=1, t=1, u=0$ .

Die Matrix ist:

\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}

Spiegelungsmatrix für die zweite Winkelhalbierende

Die Spiegelung eines Punktes $(x,y)$ an der Geraden $y=-x$ ergibt $(-y,-x)$ .

Diese Matrix $vertauscht und negiert beide Koordinaten$ . Die negativen Einsen außerhalb der Hauptdiagonalen führen beide Operationen in einer Multiplikation aus.

\begin{pmatrix} r & s \\ t & u \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -y \\ -x \end{pmatrix}

Dies ergibt $r=0, s=-1, t=-1, u=0$ .

Die Matrix ist:

\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}

Grundlegende Spiegelungsmatrizen

Vergleiche die vier Matrizen mit $demselben Ausgangspunkt$ $P(3,-4)$ . Unterscheide dabei zwischen dem Wechsel der Vorzeichen und dem Vertauschen der Koordinaten:

Spiegelgerade	Koordinatenregel	Bildpunkt
$y=0$	$(x,y)\mapsto(x,-y)$	$(3,4)$
$x=0$	$(x,y)\mapsto(-x,y)$	$(-3,-4)$
$y=x$	$(x,y)\mapsto(y,x)$	$(-4,3)$
$y=-x$	$(x,y)\mapsto(-y,-x)$	$(4,-3)$

Das Bild eines Punktes mit einer Matrix bestimmen

Bestimme das Bild von $(3,-4)$ bei der Spiegelung an der $x$ -Achse.

$Lösung$ :

Wir setzen den Punkt als $Spaltenvektor$ in die Spiegelungsmatrix der $x$ -Achse ein:

\begin{aligned} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} (1)(3) + (0)(-4) \\ (0)(3) + (-1)(-4) \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} \end{aligned}

Somit ist das Bild $(3,4)$ .

Das Bild eines Dreiecks mit einer Matrix bestimmen

Bestimme das Bild des Dreiecks $ABC$ mit den Eckpunkten $A(3,1)$ , $B(-2,3)$ und $C(2,-1)$ bei der Spiegelung an der $y$ -Achse.

$Lösung$ :

Die Spiegelungsmatrix für die $y$ -Achse ist:

\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

Wir schreiben die Eckpunkte des Dreiecks $ABC$ spaltenweise in die Koordinatenmatrix:

\begin{pmatrix} 3 & -2 & 2 \\ 1 & 3 & -1 \end{pmatrix}

Die Spalten stehen von links nach rechts für $A$ , $B$ und $C$ . Multipliziere $jede Punktspalte$ mit der Spiegelungsmatrix, um beide Koordinaten des Bildpunktes zu berechnen.

\begin{aligned} &\begin{pmatrix} x'_A & x'_B & x'_C \\ y'_A & y'_B & y'_C \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & -2 & 2 \\ 1 & 3 & -1 \end{pmatrix} \end{aligned}

Das Bilddreieck $A'B'C'$ hat daher die Eckpunkte $A'(-3,1)$ , $B'(2,3)$ und $C'(-2,-1)$ .

Spiegelung von

\triangle ABC

an der

y

-Achse

Das Dreieck

ABC

wird an der

y

-Achse zum Bilddreieck

A'B'C'

gespiegelt.

Übungen

Wähle die $Matrix zur Spiegelgeraden$ und multipliziere sie mit dem Koordinatenvektor. Behalte beim Dreieck die Reihenfolge der drei Eckpunktspalten bei.

Bestimme das Bild des Punktes $(3,5)$ bei der Spiegelung an der $x$ -Achse mit der Matrix:

$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$
Bestimme das Bild des Dreiecks $ABC$ mit den Eckpunkten $A(3,1)$ , $B(-2,3)$ und $C(2,-1)$ bei der Spiegelung an der Geraden $y=-x$ .

Lösungen

Die erste Zeile ergibt die waagerechte, die zweite die senkrechte Koordinate. Bei der zweiten Winkelhalbierenden werden $die Koordinaten vertauscht und ihre Vorzeichen umgekehrt$ .

$Lösung 1$

Multipliziere den Ortsvektor von $(3,5)$ mit der Spiegelungsmatrix für die $x$ -Achse:

\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -5 \end{pmatrix}

Der Bildpunkt ist $(3,-5)$ .

$Lösung 2$

Die Spiegelungsmatrix für $y=-x$ ist:

\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}

Die Koordinatenmatrix der Eckpunkte von $ABC$ ist:

\begin{pmatrix} 3 & -2 & 2 \\ 1 & 3 & -1 \end{pmatrix}

Berechne jeden Eintrag durch Multiplikation einer Zeile mit einer Spalte:

\begin{aligned} &m_{11}=(0)(3)+(-1)(1) \\ &m_{12}=(0)(-2)+(-1)(3) \\ &m_{13}=(0)(2)+(-1)(-1) \\ &m_{21}=(-1)(3)+(0)(1) \\ &m_{22}=(-1)(-2)+(0)(3) \\ &m_{23}=(-1)(2)+(0)(-1) \end{aligned}

Damit erhalten wir die Bildpunkte $A'(-1,-3)$ , $B'(-3,2)$ und $C'(1,-2)$ .

Spiegelungsmatrix für die horizontale Achse

Bei der Spiegelung eines Punktes $(x,y)$ an der $x$ -Achse bleibt die $x$ -Koordinate erhalten, während die $y$ -Koordinate ihr Vorzeichen wechselt. Der Bildpunkt ist also $(x,-y)$ .

Wir beginnen mit $einer Matrix mit unbekannten Einträgen$ :

\begin{pmatrix} r & s \\ t & u \end{pmatrix}

Für die Spiegelung an der $x$ -Achse muss die Matrix Folgendes erfüllen:

\begin{pmatrix} r & s \\ t & u \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ -y \end{pmatrix}

Durch Gleichsetzung der Koeffizienten erhalten wir:

$rx + sy = 1x + 0y \implies r=1, s=0$
$tx + uy = 0x - 1y \implies t=0, u=-1$

Somit ist die Spiegelungsmatrix für die $x$ -Achse:

\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}

Spiegelungsmatrix für die vertikale Achse

Die Spiegelung eines Punktes $(x,y)$ an der $y$ -Achse ergibt $(-x,y)$ .

Nur die $waagerechte Koordinate wechselt das Vorzeichen$ . Die erste Zeile wählt ihr Negatives aus. Die zweite Zeile behält die senkrechte Koordinate bei.

\begin{pmatrix} r & s \\ t & u \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -x \\ y \end{pmatrix}

Dies ergibt $r=-1, s=0, t=0, u=1$ .

Die Matrix ist:

\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

Spiegelungsmatrix für die erste Winkelhalbierende

Die Spiegelung eines Punktes $(x,y)$ an der Geraden $y=x$ ergibt $(y,x)$ .

Diese Matrix $vertauscht die Koordinaten$ . Die Einsen liegen außerhalb der Hauptdiagonalen, weil die erste Zeile die senkrechte und die zweite die waagerechte Koordinate auswählt.

\begin{pmatrix} r & s \\ t & u \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix}

Dies ergibt $r=0, s=1, t=1, u=0$ .

Die Matrix ist:

\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}

Spiegelungsmatrix für die zweite Winkelhalbierende

Die Spiegelung eines Punktes $(x,y)$ an der Geraden $y=-x$ ergibt $(-y,-x)$ .

Diese Matrix $vertauscht und negiert beide Koordinaten$ . Die negativen Einsen außerhalb der Hauptdiagonalen führen beide Operationen in einer Multiplikation aus.

\begin{pmatrix} r & s \\ t & u \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -y \\ -x \end{pmatrix}

Dies ergibt $r=0, s=-1, t=-1, u=0$ .

Die Matrix ist:

\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}

Grundlegende Spiegelungsmatrizen

Vergleiche die vier Matrizen mit $demselben Ausgangspunkt$ $P(3,-4)$ . Unterscheide dabei zwischen dem Wechsel der Vorzeichen und dem Vertauschen der Koordinaten:

Spiegelgerade	Koordinatenregel	Bildpunkt
$y=0$	$(x,y)\mapsto(x,-y)$	$(3,4)$
$x=0$	$(x,y)\mapsto(-x,y)$	$(-3,-4)$
$y=x$	$(x,y)\mapsto(y,x)$	$(-4,3)$
$y=-x$	$(x,y)\mapsto(-y,-x)$	$(4,-3)$

Das Bild eines Punktes mit einer Matrix bestimmen

Bestimme das Bild von $(3,-4)$ bei der Spiegelung an der $x$ -Achse.

$Lösung$ :

Wir setzen den Punkt als $Spaltenvektor$ in die Spiegelungsmatrix der $x$ -Achse ein:

\begin{aligned} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} (1)(3) + (0)(-4) \\ (0)(3) + (-1)(-4) \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} \end{aligned}

Somit ist das Bild $(3,4)$ .

Das Bild eines Dreiecks mit einer Matrix bestimmen

Bestimme das Bild des Dreiecks $ABC$ mit den Eckpunkten $A(3,1)$ , $B(-2,3)$ und $C(2,-1)$ bei der Spiegelung an der $y$ -Achse.

$Lösung$ :

Die Spiegelungsmatrix für die $y$ -Achse ist:

\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

Wir schreiben die Eckpunkte des Dreiecks $ABC$ spaltenweise in die Koordinatenmatrix:

\begin{pmatrix} 3 & -2 & 2 \\ 1 & 3 & -1 \end{pmatrix}

Die Spalten stehen von links nach rechts für $A$ , $B$ und $C$ . Multipliziere $jede Punktspalte$ mit der Spiegelungsmatrix, um beide Koordinaten des Bildpunktes zu berechnen.

\begin{aligned} &\begin{pmatrix} x'_A & x'_B & x'_C \\ y'_A & y'_B & y'_C \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & -2 & 2 \\ 1 & 3 & -1 \end{pmatrix} \end{aligned}

Das Bilddreieck $A'B'C'$ hat daher die Eckpunkte $A'(-3,1)$ , $B'(2,3)$ und $C'(-2,-1)$ .

Spiegelung von

\triangle ABC

an der

y

-Achse

Das Dreieck

ABC

wird an der

y

-Achse zum Bilddreieck

A'B'C'

gespiegelt.

Übungen

Wähle die $Matrix zur Spiegelgeraden$ und multipliziere sie mit dem Koordinatenvektor. Behalte beim Dreieck die Reihenfolge der drei Eckpunktspalten bei.

Bestimme das Bild des Punktes $(3,5)$ bei der Spiegelung an der $x$ -Achse mit der Matrix:

$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$
Bestimme das Bild des Dreiecks $ABC$ mit den Eckpunkten $A(3,1)$ , $B(-2,3)$ und $C(2,-1)$ bei der Spiegelung an der Geraden $y=-x$ .

Lösungen

Die erste Zeile ergibt die waagerechte, die zweite die senkrechte Koordinate. Bei der zweiten Winkelhalbierenden werden $die Koordinaten vertauscht und ihre Vorzeichen umgekehrt$ .

$Lösung 1$

Multipliziere den Ortsvektor von $(3,5)$ mit der Spiegelungsmatrix für die $x$ -Achse:

\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -5 \end{pmatrix}

Der Bildpunkt ist $(3,-5)$ .

$Lösung 2$

Die Spiegelungsmatrix für $y=-x$ ist:

\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}

Die Koordinatenmatrix der Eckpunkte von $ABC$ ist:

\begin{pmatrix} 3 & -2 & 2 \\ 1 & 3 & -1 \end{pmatrix}

Berechne jeden Eintrag durch Multiplikation einer Zeile mit einer Spalte:

\begin{aligned} &m_{11}=(0)(3)+(-1)(1) \\ &m_{12}=(0)(-2)+(-1)(3) \\ &m_{13}=(0)(2)+(-1)(-1) \\ &m_{21}=(-1)(3)+(0)(1) \\ &m_{22}=(-1)(-2)+(0)(3) \\ &m_{23}=(-1)(2)+(0)(-1) \end{aligned}

Damit erhalten wir die Bildpunkte $A'(-1,-3)$ , $B'(-3,2)$ und $C'(1,-2)$ .