Grenzwerte algebraischer Funktionen

Den Rechenweg aus der Form des Terms wählen

Bei einem $algebraischen Grenzwert$ entscheidet die Form des Ausdrucks darüber, welche Rechenoperation zulässig ist. $Ein Polynom kann direkt ausgewertet werden$ . Ein rationaler Ausdruck oder ein Wurzelausdruck kann dagegen einen kürzbaren Faktor, einen Rand des Definitionsbereichs oder eine senkrechte Asymptote enthalten, die zuerst untersucht werden muss.

Viele Beispiele algebraischer Funktionen lassen sich durch Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Potenzen mit rationalen Exponenten bilden. Beispiele sind das Polynom $f(x) = x^2 + 3x - 2$ und die rationale Funktion $g(x) = \frac{x + 1}{x - 2}$ . Wir verwenden direktes Einsetzen als Diagnose und faktorisieren, rationalisieren oder prüfen einseitiges Verhalten, wenn das Einsetzen den Grenzwert noch nicht bestimmt.

Grundlegende Rechenwege

Welcher Rechenweg passt, hängt von der Art der Funktion und vom Ergebnis des direkten Einsetzens ab. Liefert das Einsetzen einen definierten Wert, ist die Rechnung beendet. Erst wenn eine $unbestimmte Form$ entsteht, ist eine Umformung nötig.

Grenzwerte von Polynomfunktionen

Polynomfunktionen sind überall $stetig$ . Deshalb können wir den Wert, gegen den die Variable läuft, direkt $einsetzen$ .

Sei $f(x) = x^4 - 5x^3 + x^2 - 7$ , dann:

\lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} (x^4 - 5x^3 + x^2 - 7)

Da Polynomfunktionen überall stetig sind, setzen wir direkt ein:

\begin{aligned} &= 2^4 - 5(2^3) + 2^2 - 7 \\ &= 16 - 40 + 4 - 7 \\ &= -27 \end{aligned}

Grenzwerte rationaler Funktionen

Rationale Funktionen haben die Form $\frac{P(x)}{Q(x)}$ , wobei $P(x)$ und $Q(x)$ Polynome sind. Der Nenner entscheidet über den nächsten Schritt:

$Ist der Nenner nicht null$ : Setze direkt ein, genau wie bei einer Polynomfunktion.
$Ist der Nenner null$ : Prüfe Zähler, Vorzeichen und einseitiges Verhalten. Nur $\frac{0}{0}$ ist eine unbestimmte Form, die sich möglicherweise algebraisch auflösen lässt. Ein von null verschiedener Zähler über null ist nicht unbestimmt.

Unbestimmte Formen auflösen

Ergibt direktes Einsetzen $\frac{0}{0}$ , ist der $Grenzwert$ noch nicht bestimmt. Dann helfen unter anderem Faktorisieren und Rationalisieren. Nach beiden Techniken lässt sich der gemeinsame Faktor kürzen, der die Null im Nenner verursacht.

Faktorisieren

Ein $gemeinsamer Faktor$ darf nur für Eingaben gekürzt werden, bei denen er nicht null ist. Der vereinfachte Term stimmt in der Umgebung der Grenzwertstelle mit dem ursprünglichen überein, auch wenn die ursprüngliche Funktion dort selbst nicht definiert ist.

$Beispiel$ : Berechne $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$

Direktes Einsetzen ergibt $\frac{0}{0}$ . Wir faktorisieren:

x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)

Da sich $x$ der Zahl $2$ nähert, aber nicht gleich $2$ ist, dürfen wir $(x - 2)$ kürzen:

\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}= \lim_{x \to 2} (x + 2) = 2 + 2 = 4

Rationalisierungstechnik

Bei Ausdrücken mit Wurzeln hilft häufig das Rationalisieren. Auch hier zeigt direktes Einsetzen zunächst, ob eine unbestimmte Form vorliegt.

$Beispiel$ : Berechne $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} - 1}{x - 1}$

Direktes Einsetzen:

Der Zähler $\sqrt1-1=0$ und der Nenner $1-1=0$ sind beide null. Die unbestimmte Form $0/0$ liefert noch keinen Grenzwert.

Wir multiplizieren mit dem $konjugierten Ausdruck$ $\sqrt{x} + 1$ . Dadurch verschwindet die Wurzel aus dem Zähler, denn $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ :

\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} - 1}{x - 1} \cdot \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 1}

Für $x \neq 1$ nähert sich der Variablenwert der Zahl $1$ . Deshalb dürfen wir den Faktor $(x - 1)$ kürzen und anschließend den Grenzwert bilden:

\begin{aligned} &= \lim_{x \to 1} \frac{1}{\sqrt{x} + 1} \\ &= \frac{1}{\sqrt{1} + 1} \\ &= \frac{1}{1 + 1} \\ &= \frac{1}{2} \end{aligned}

Mehrere Techniken verbinden

Bei komplizierteren Termen werden die gleichen Schritte nacheinander angewendet. Jeder Schritt macht den Term einfacher, und am Ende liefert das $direkte Einsetzen$ einen definierten Wert.

Zähler und Nenner faktorisieren

$Beispiel$ : Berechne $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x^2 + 2x - 15}$

Direktes Einsetzen führt zur unbestimmten Form $\frac00$ : Zähler und Nenner sind beide null.

3^2-9=9-9=0

Wir faktorisieren Zähler und Nenner. Für $x^2 + 2x - 15$ suchen wir zwei Zahlen mit dem Produkt $-15$ und der Summe $2$ . Das sind $5$ und $-3$ .

x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)

Damit folgt:

\lim_{x \to 3} \frac{(x - 3)(x + 3)}{(x - 3)(x + 5)} = \lim_{x \to 3} \frac{x + 3}{x + 5}

Nun setzen wir $x = 3$ ein: $\frac{3 + 3}{3 + 5} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

Ergibt direktes Einsetzen $\frac{a}{0}$ mit $a \neq 0$ , reicht dieses Ergebnis allein nicht aus. Prüfe das Vorzeichen und die beiden einseitigen Grenzwerte. Zum Beispiel:

\lim_{x \to 2^-}\frac{1}{x-2}=-\infty

Da die einseitigen Grenzwerte verschieden sind, existiert $\lim_{x \to 2}\frac{1}{x-2}$ nicht als zweiseitiger Grenzwert. Ergibt das Einsetzen dagegen $\frac{0}{0}$ , wird der Term zuerst faktorisiert, rationalisiert oder auf andere Weise vereinfacht.

Achte auf das $Vorzeichen des Nenners$ . Links von $2$ nähert sich der negative Nenner der null, und die Funktion geht gegen $-\infty$ . Rechts ist der Nenner positiv, und die Funktion geht gegen $+\infty$ . Verbinde die Äste nicht über die Asymptote hinweg.

Zwei Richtungen an einer senkrechten Asymptote

Graph von eins geteilt durch x minus zwei. Die beiden Äste bleiben getrennt, weil die Funktion bei x gleich zwei nicht definiert ist.

Stetigkeit und Grenzwerte

Eine Funktion $f$ heißt bei $x = c$ $stetig$ , wenn:

$f(c)$ existiert (ist definiert)
$\lim_{x \to c} f(x)$ existiert
$\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$

Polynomfunktionen sind überall stetig. Rationale Funktionen sind an allen Stellen stetig, an denen ihr Nenner nicht null ist.

Übungen

Jede Aufgabe verlangt den $Grenzwert$ eines algebraischen Terms. Bestimme zuerst die Form, denn bei null durch null sind Faktorisieren oder Erweitern nötig.

Berechne $\lim_{x \to 2} (x^4 - 5x^3 + x^2 - 7)$
Berechne $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 6x + 8}{x^2 + 16x + 28}$
Berechne $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 2x + 1}{x - 1}$
Entscheide, ob $f(x) = x^2 - 2x + 1$ bei $x = 1$ stetig ist
Berechne $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x}$

Lösungen

$Aufgabe 1$ . Da die Polynomfunktion $überall stetig$ ist, setzen wir direkt ein:

\begin{aligned} &\lim_{x \to 2} (x^4 - 5x^3 + x^2 - 7) \\ &= 2^4 - 5(2^3) + 2^2 - 7 \end{aligned}

$Aufgabe 2$ . Der $Nenner$ der rationalen Funktion ist bei $x = 2$ ungleich null. Deshalb setzen wir direkt ein:

\begin{aligned} &\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 6x + 8}{x^2 + 16x + 28} \\ &= \frac{2^2 - 6(2) + 8}{2^2 + 16(2) + 28} \end{aligned}

$Aufgabe 3$ . $Direktes Einsetzen$ ergibt $\frac{0}{0}$ . Wir faktorisieren den Zähler:

x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2

$Aufgabe 4$ . Für die Stetigkeit bei $x = 1$ prüfen wir drei Bedingungen:

Bedingung	Prüfung
Der Funktionswert existiert	$f(1)=1^2-2(1)+1=0$
Der Grenzwert existiert	$\lim_{x\to1}(x^2-2x+1)=1-2+1=0$
Grenzwert und Funktionswert stimmen überein	$\lim_{x\to1}f(x)=0=f(1)$

Alle drei Bedingungen sind erfüllt. Daher ist die Funktion bei $x = 1$ $stetig$ .

$Aufgabe 5$ . $Direktes Einsetzen$ ergibt $\frac{\sqrt{0 + 4} - 2}{0} = \frac{2 - 2}{0} = \frac{0}{0}$ , also eine unbestimmte Form.

Wir rationalisieren durch Multiplikation mit dem konjugierten Ausdruck $\sqrt{x + 4} + 2$ :

\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x} \cdot \frac{\sqrt{x + 4} + 2}{\sqrt{x + 4} + 2}