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Bei einem algebraischen Grenzwert entscheidet die Form des Ausdrucks darüber, welche Rechenoperation zulässig ist. Ein Polynom kann direkt ausgewertet werden. Ein rationaler Ausdruck oder ein Wurzelausdruck kann dagegen einen kürzbaren Faktor, einen Rand des Definitionsbereichs oder eine senkrechte Asymptote enthalten, die zuerst untersucht werden muss.
Algebraische Funktionen entstehen aus Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Potenzen mit rationalen Exponenten. Beispiele sind das Polynom und die rationale Funktion . Wir verwenden direktes Einsetzen als Diagnose und faktorisieren, rationalisieren oder prüfen einseitiges Verhalten, wenn das Einsetzen den Grenzwert noch nicht bestimmt.
Welcher Rechenweg passt, hängt von der Art der Funktion und vom Ergebnis des direkten Einsetzens ab.
Polynomfunktionen sind überall stetig. Deshalb können wir den Wert, gegen den die Variable läuft, direkt einsetzen.
Sei , dann:
Da Polynomfunktionen überall stetig sind, setzen wir direkt ein:
Rationale Funktionen haben die Form , wobei und Polynome sind. Der Nenner entscheidet über den nächsten Schritt:
Ist der Nenner nicht null: Setze direkt ein, genau wie bei einer Polynomfunktion.
Ist der Nenner null: Prüfe Zähler, Vorzeichen und einseitiges Verhalten. Nur ist eine unbestimmte Form, die sich möglicherweise algebraisch auflösen lässt. Ein von null verschiedener Zähler über null ist nicht unbestimmt.
Ergibt direktes Einsetzen , ist der Grenzwert noch nicht bestimmt. Dann helfen unter anderem Faktorisieren und Rationalisieren.
Oft lassen sich Zähler und Nenner faktorisieren, sodass ein gemeinsamer Faktor gekürzt werden kann.
Beispiel: Berechne
Direktes Einsetzen ergibt . Wir faktorisieren:
Da sich der Zahl nähert, aber nicht gleich ist, dürfen wir kürzen:
Bei Ausdrücken mit Wurzeln hilft häufig das Rationalisieren. Auch hier zeigt direktes Einsetzen zunächst, ob eine unbestimmte Form vorliegt.
Beispiel: Berechne
Direktes Einsetzen:
Wir multiplizieren mit dem konjugierten Ausdruck . Dadurch verschwindet die Wurzel aus dem Zähler, denn :
Für nähert sich der Variablenwert der Zahl . Deshalb dürfen wir den Faktor kürzen und anschließend den Grenzwert bilden:
Bei komplizierteren Termen werden die gleichen Schritte nacheinander angewendet.
Beispiel: Berechne
Direktes Einsetzen:
Wir faktorisieren Zähler und Nenner. Für suchen wir zwei Zahlen mit dem Produkt und der Summe . Das sind und .
Damit folgt:
Nun setzen wir ein:
Ergibt direktes Einsetzen mit , reicht dieses Ergebnis allein nicht aus. Prüfe das Vorzeichen und die beiden einseitigen Grenzwerte. Zum Beispiel:
Da die einseitigen Grenzwerte verschieden sind, existiert nicht als zweiseitiger Grenzwert. Ergibt das Einsetzen dagegen , wird der Term zuerst faktorisiert, rationalisiert oder auf andere Weise vereinfacht.
Eine Funktion heißt bei stetig, wenn:
Polynomfunktionen sind überall stetig. Rationale Funktionen sind an allen Stellen stetig, an denen ihr Nenner nicht null ist.
Berechne
Berechne
Berechne
Entscheide, ob bei stetig ist
Berechne
Lösung:
Da die Polynomfunktion überall stetig ist, setzen wir direkt ein:
Lösung:
Der Nenner der rationalen Funktion ist bei ungleich null. Deshalb setzen wir direkt ein:
Lösung:
Direktes Einsetzen ergibt . Wir faktorisieren den Zähler:
Lösung:
Für die Stetigkeit bei prüfen wir drei Bedingungen:
Bedingung (Funktion ist definiert): ✓ (existiert)
Lösung:
Direktes Einsetzen ergibt , also eine unbestimmte Form.
Bedingung (Grenze vorhanden): Da es sich um eine Polynomfunktion handelt, ✓ (existiert)
Bedingung (Grenze entspricht Funktionswert): ✓ (gleich)
Alle drei Bedingungen sind erfüllt. Daher ist die Funktion bei stetig.
Wir rationalisieren durch Multiplikation mit dem konjugierten Ausdruck :
