For AI agents: use /llms.txt for the Nakafa content index.
Viele Beispiele algebraischer Funktionen lassen sich durch Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Potenzen mit rationalen Exponenten bilden. Beispiele sind das Polynom und die rationale Funktion . Wir verwenden direktes Einsetzen als Diagnose und faktorisieren, rationalisieren oder prüfen einseitiges Verhalten, wenn das Einsetzen den Grenzwert noch nicht bestimmt.
Welcher Rechenweg passt, hängt von der Art der Funktion und vom Ergebnis des direkten Einsetzens ab. Liefert das Einsetzen einen definierten Wert, ist die Rechnung beendet. Erst wenn eine unbestimmte Form entsteht, ist eine Umformung nötig.
Polynomfunktionen sind überall stetig. Deshalb können wir den Wert, gegen den die Variable läuft, direkt einsetzen.
Sei , dann:
Da Polynomfunktionen überall stetig sind, setzen wir direkt ein:
Rationale Funktionen haben die Form , wobei und Polynome sind. Der Nenner entscheidet über den nächsten Schritt:
Ist der Nenner nicht null: Setze direkt ein, genau wie bei einer Polynomfunktion.
Ist der Nenner null: Prüfe Zähler, Vorzeichen und einseitiges Verhalten. Nur ist eine unbestimmte Form, die sich möglicherweise algebraisch auflösen lässt. Ein von null verschiedener Zähler über null ist nicht unbestimmt.
Ergibt direktes Einsetzen , ist der Grenzwert noch nicht bestimmt. Dann helfen unter anderem Faktorisieren und Rationalisieren. Nach beiden Techniken lässt sich der gemeinsame Faktor kürzen, der die Null im Nenner verursacht.
Ein gemeinsamer Faktor darf nur für Eingaben gekürzt werden, bei denen er nicht null ist. Der vereinfachte Term stimmt in der Umgebung der Grenzwertstelle mit dem ursprünglichen überein, auch wenn die ursprüngliche Funktion dort selbst nicht definiert ist.
Beispiel: Berechne
Direktes Einsetzen ergibt . Wir faktorisieren:
Da sich der Zahl nähert, aber nicht gleich ist, dürfen wir kürzen:
Bei Ausdrücken mit Wurzeln hilft häufig das Rationalisieren. Auch hier zeigt direktes Einsetzen zunächst, ob eine unbestimmte Form vorliegt.
Beispiel: Berechne
Direktes Einsetzen:
Der Zähler und der Nenner sind beide null. Die unbestimmte Form liefert noch keinen Grenzwert.
Wir multiplizieren mit dem konjugierten Ausdruck . Dadurch verschwindet die Wurzel aus dem Zähler, denn :
Für nähert sich der Variablenwert der Zahl . Deshalb dürfen wir den Faktor kürzen und anschließend den Grenzwert bilden:
Bei komplizierteren Termen werden die gleichen Schritte nacheinander angewendet. Jeder Schritt macht den Term einfacher, und am Ende liefert das direkte Einsetzen einen definierten Wert.
Beispiel: Berechne
Direktes Einsetzen führt zur unbestimmten Form : Zähler und Nenner sind beide null.
Wir faktorisieren Zähler und Nenner. Für suchen wir zwei Zahlen mit dem Produkt und der Summe . Das sind und .
Damit folgt:
Nun setzen wir ein:
Ergibt direktes Einsetzen mit , reicht dieses Ergebnis allein nicht aus. Prüfe das Vorzeichen und die beiden einseitigen Grenzwerte. Zum Beispiel:
Da die einseitigen Grenzwerte verschieden sind, existiert nicht als zweiseitiger Grenzwert. Ergibt das Einsetzen dagegen , wird der Term zuerst faktorisiert, rationalisiert oder auf andere Weise vereinfacht.
Achte auf das Vorzeichen des Nenners. Links von nähert sich der negative Nenner der null, und die Funktion geht gegen . Rechts ist der Nenner positiv, und die Funktion geht gegen . Verbinde die Äste nicht über die Asymptote hinweg.
Eine Funktion heißt bei stetig, wenn:
Polynomfunktionen sind überall stetig. Rationale Funktionen sind an allen Stellen stetig, an denen ihr Nenner nicht null ist.
Jede Aufgabe verlangt den Grenzwert eines algebraischen Terms. Bestimme zuerst die Form, denn bei null durch null sind Faktorisieren oder Erweitern nötig.
Berechne
Berechne
Berechne
Entscheide, ob bei stetig ist
Berechne
Aufgabe 1. Da die Polynomfunktion überall stetig ist, setzen wir direkt ein:
Aufgabe 2. Der Nenner der rationalen Funktion ist bei ungleich null. Deshalb setzen wir direkt ein:
Aufgabe 3. Direktes Einsetzen ergibt . Wir faktorisieren den Zähler:
Aufgabe 4. Für die Stetigkeit bei prüfen wir drei Bedingungen:
| Bedingung | Prüfung |
|---|---|
| Der Funktionswert existiert | |
| Der Grenzwert existiert | |
| Grenzwert und Funktionswert stimmen überein |
Alle drei Bedingungen sind erfüllt. Daher ist die Funktion bei stetig.
Aufgabe 5. Direktes Einsetzen ergibt , also eine unbestimmte Form.
Wir rationalisieren durch Multiplikation mit dem konjugierten Ausdruck :
Veröffentlicht: . Aktualisiert: .
