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Trigonometrische Grenzwerte stellen dieselbe lokale Frage wie algebraische Grenzwerte: Welchem Wert nähert sich ein Ausdruck in der Umgebung einer bestimmten Eingabe? Sinus und Kosinus sind überall stetig, Tangens überall dort, wo der Kosinus nicht null ist. Direktes Einsetzen funktioniert daher weiterhin, wenn der entstehende Ausdruck definiert ist.
Besondere Schritte sind nötig, wenn das Einsetzen eine unbestimmte Form wie ergibt. In der Umgebung von null lassen sich solche Ausdrücke mit einem grundlegenden Sinusgrenzwert und bekannten trigonometrischen Identitäten umformen.
Die wichtigste Grundlage trigonometrischer Grenzwerte ist der Satz, dass das Verhältnis aus dem Sinus eines Winkels und dem Winkel selbst gegen eins geht, wenn sich der Winkel null nähert.
Es gilt:
Direktes Einsetzen liefert nur und beweist den Satz daher nicht. Ein geometrischer Beweis verwendet den Einheitskreis und den Einschließungssatz.
Hier muss im Bogenmaß stehen. Für Gradmaß gilt dieser Grenzwert nicht in derselben Form.
Aus diesem Grenzwert folgen weitere wichtige Ergebnisse:
Die Identität liefert beide Kosinusgrenzwerte direkt, ohne Ableitungsregeln vorwegzunehmen, die erst später entwickelt werden:
Damit lassen sich mehrere nützliche Verhältnisgrenzwerte herleiten:
Für reelle Konstanten und werden alle folgenden Grenzwerte für betrachtet:
| Grenzwert | Ergebnis | Begründung |
|---|---|---|
| Auf die Grundform zurückführen | ||
Die Verhältnisgrenzwerte lassen sich auch miteinander verbinden:
Wir formen den Ausdruck so um, dass der grundlegende Sinusgrenzwert sichtbar wird.
Berechne:
Wir ergänzen den passenden Faktor:
Trigonometrische Identitäten können einen Ausdruck vereinfachen. Prüfe vorher, ob die Funktion an der betrachteten Stelle definiert ist.
Berechne:
Da , ist der Nenner bei nicht Null.
Direktes Einsetzen:
Bei einem Ausdruck der Form kann eine geeignete Substitution die Grundform sichtbar machen.
Berechne:
Sei , dann haben wir für und .
Enthält ein Ausdruck eine Winkelsumme oder Winkeldifferenz, helfen die passenden trigonometrischen Identitäten.
Berechne:
Wir schreiben den Kotangens als Quotienten:
Berechne
Berechne
Berechne
Berechne
Berechne
Lösung:
Forme den Ausdruck in die Grundform um:
Lösung:
Verwende die trigonometrischen Verhältnisgrenzwerte:
Lösung:
Verwende die Identität :
Lösung:
Sei , dann und wenn , haben wir :
Lösung:
Verwende die Identität :
| Denn |
| Kombination zweier Sinusgrenzen |
| Zwei Tangensgrenzwerte verbinden |
