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Besondere Schritte sind nötig, wenn das Einsetzen eine unbestimmte Form wie ergibt. In der Umgebung von null lassen sich solche Ausdrücke mit einem grundlegenden Sinusgrenzwert und bekannten trigonometrischen Identitäten umformen.
Nähert sich ein im Bogenmaß angegebener Winkel null, dann nähert sich das Verhältnis aus seinem Sinus und dem Winkel selbst dem Wert eins. Das Bogenmaß ist es, das den Wert genau eins macht, und diese eine Tatsache bestimmt den Wert jedes Verhältnisses aus Sinus und Kosinus.
Es gilt:
Der Ausdruck ist bei nicht definiert. Direktes Einsetzen bestimmt den Grenzwert daher nicht. Ein geometrischer Beweis verwendet den Einheitskreis und den Einschließungssatz.
Hier muss im Bogenmaß stehen. Für Gradmaß gilt dieser Grenzwert nicht in derselben Form.
Am Einheitskreis liefert der Vergleich von Dreiecks- und Sektorflächen für die Ungleichung . Division durch positive Größen ergibt zwei einschließende Schranken:
Für gehen beide Schranken gegen . Links gilt , sodass derselbe Grenzwert entsteht. Der Graph veranschaulicht die Annäherung. Bei bleibt der Ausdruck undefiniert.
Mit diesem Grenzwert lassen sich die folgenden Ergebnisse herleiten:
Da und gelten:
Verwende die Identität :
Verwende die Identität :
Die Identität liefert beide Kosinusgrenzwerte direkt, ohne Ableitungsregeln vorwegzunehmen, die erst später entwickelt werden:
Aus diesem Grundgrenzwert folgen mehrere verwandte Verhältnisse, weil ein konstanter Faktor im Winkel vor den Grenzwert tritt und der Kehrwert sich genauso verhält. Damit lässt sich jeder Sinus eines vervielfachten Winkels auf den Grundgrenzwert zurückführen.
Für reelle Konstanten und werden alle folgenden Grenzwerte für betrachtet:
| Grenzwert | Ergebnis | Begründung |
|---|---|---|
| Auf die Grundform zurückführen | ||
Für das gemischte Verhältnis von Tangens und Sinus gilt dieselbe Regel. Für und zerlegen wir den Ausdruck in Grundgrenzwerte:
Ist , bleibt der Zähler null, also ist auch der Grenzwert null. Die abschließende Regel gilt daher für jedes reelle und .
Manche trigonometrischen Grenzwerte lösen sich durch Einsetzen, andere brauchen eine Identität oder einen bekannten Grenzwert. Der Ausdruck selbst zeigt, welcher Fall vorliegt, denn eine Summe oder Differenz im Argument weist auf eine benötigte Identität hin.
Wir formen den Ausdruck in ein Produkt um, das den grundlegenden Sinusgrenzwert enthält.
Berechne:
Wir ergänzen den passenden Faktor:
Direktes Einsetzen ist zulässig, wenn die Funktion an der betrachteten Stelle stetig und der Nenner ungleich null ist. Ein Grenzwert setzt allgemein nicht voraus, dass die Funktion an dieser Stelle definiert ist.
Berechne:
Da , ist der Nenner bei nicht Null.
Direktes Einsetzen:
Bei einem Ausdruck der Form kann eine geeignete Substitution den Ausdruck auf eine bekannte Grundform zurückführen.
Berechne:
Sei , dann haben wir für und .
Schreibe den Kotangens als Kosinus durch Sinus. Der Kosinusquotient geht gegen eins. Der Sinusquotient liefert das Verhältnis der Winkelfaktoren.
Berechne:
Wir schreiben den Kotangens als Quotienten:
Jede Aufgabe verlangt einen trigonometrischen Grenzwert. Entscheide vor dem Rechnen, ob Einsetzen genügt oder eine Identität nötig ist. Notiere bei jedem Schritt den verwendeten Grenzwert und prüfe das Ergebnis am Grundgrenzwert, sobald der Winkel skaliert wird.
Berechne
Berechne
Berechne
Berechne
Berechne
Aufgabe 1. Forme den Ausdruck in die Grundform um:
Aufgabe 2. Verwende die trigonometrischen Verhältnisgrenzwerte:
Aufgabe 3. Verwende die Halbwinkelformel, um die Kosinusdifferenz als Sinusquadrat zu schreiben:
Aufgabe 4. Ersetze die Variable, sodass der Winkel gegen null geht, und verwende dann den Sinusgrundgrenzwert. Sei , dann und wenn , haben wir :
Aufgabe 5. Verwende die Doppelwinkelformel, bevor du den gemeinsamen Faktor kürzt:
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| Denn |
| Kombination zweier Sinusgrenzen |
| Zwei Tangensgrenzwerte verbinden |
