Median und Modalklasse bei gruppierten Daten

Modalklasse bei gruppierten Daten

Wenn Daten in Intervalle eingeteilt werden, enthält die Tabelle nicht mehr jeden ursprünglichen Beobachtungswert. Die $Modalklasse$ lässt sich trotzdem bestimmen, ein exakter Modalwert dagegen nicht unbedingt.

Die $Modalklasse$ ist das Klassenintervall mit der $höchsten Häufigkeit$ . Es enthält also $mehr Beobachtungen als jedes andere Intervall$ .

$Durchgerechnetes Beispiel$ :

Die folgende Tabelle zeigt die verkauften Schuhgrößen in Geschäft A:

Schuhgröße (Klassenintervall)	Häufigkeit ( $f_i$ )
$37\text{-}39$	$2$
$40\text{-}42$	$11$
$43\text{-}45$	$16$ (höchste Häufigkeit)
$46\text{-}48$	$1$
$Gesamt$	$30$

Die höchste Häufigkeit beträgt $16$ . Damit ist $43\text{-}45$ die Modalklasse.

Dieses Intervall enthält die $meisten Verkäufe als gesamte Klasse$ . Der häufigste Einzelwert muss jedoch nicht in dieser Klasse liegen. Die $16$ Verkäufe könnten sich etwa auf drei Größen verteilen, während die $11$ Verkäufe einer anderen Klasse alle dieselbe Größe betreffen. Diese Einzelheiten fehlen in der gruppierten Tabelle.

Median für gruppierte Daten

Der Median teilt geordnete Daten in zwei gleich große Hälften. Eine gruppierte Tabelle enthält Klassenintervalle und Häufigkeiten anstelle der einzelnen Beobachtungswerte. Deshalb bestimmen wir zuerst die Medianklasse und $schätzen dann die Position des Medians$ innerhalb dieser Klasse.

Medianklasse und Medianposition bestimmen

Berechne die $kumulierte Häufigkeit$ , indem du die Häufigkeiten von der ersten bis zur betrachteten Klasse addierst. Suche die erste Klasse, deren kumulierte Häufigkeit $n/2$ erreicht. Innerhalb dieser Klasse schätzt du den Median durch Interpolation:

\operatorname{Me}=L+\frac{n/2-F}{f_{\mathrm{Me}}}\,c

Symbol	Bedeutung
$\operatorname{Me}$	Geschätzter Median
$L$	Untere stetige Grenze der Medianklasse
$n$	Gesamthäufigkeit
$F$	Kumulierte Häufigkeit vor der Medianklasse
$f_{\mathrm{Me}}$	Häufigkeit der Medianklasse
$c$	Klassenbreite

Bei aufeinanderfolgenden ganzzahligen Größen liegen die stetigen Klassengrenzen eine halbe Einheit außerhalb der angegebenen Grenzen. Die Klasse $43\text{-}45$ verwendet daher $42{,}5$ und $45{,}5$ als stetige Grenzen. Die $Interpolation setzt eine gleichmäßige Verteilung$ dazwischen voraus. Da die Einzelwerte fehlen, ist das Ergebnis eine Schätzung.

$Durchgerechnetes Beispiel$ :

Wir verwenden wieder die Schuhgrößen aus Geschäft A.

Schuhgröße	Häufigkeit ( $f_i$ )	Kumulierte Häufigkeit ( $F_k$ )
$37\text{-}39$	$2$	$2$
$40\text{-}42$	$11$	$2 + 11 = 13$
$43\text{-}45$	$16$ ( $f_{\mathrm{Me}}$ )	$13 + 16 = 29$
$46\text{-}48$	$1$	$29 + 1 = 30$
Gesamt	$n = 30$

Die Medianposition ist $n/2=30/2=15$ . Nach der zweiten Klasse beträgt die kumulierte Häufigkeit $13$ , nach der dritten $29$ . Die $Medianklasse$ ist daher $43\text{-}45$ . Aus der Tabelle erhalten wir:

Größe	Wert
$L$	$43-0{,}5=42{,}5$
$n/2$	$30/2=15$
$F$	$13$
$f_{\mathrm{Me}}$	$16$

Die Klassenbreite ist die Differenz der beiden stetigen Grenzen:

\begin{aligned} c &= (45 + 0{,}5) - (43 - 0{,}5) \\ &= 45{,}5 - 42{,}5 \\ &= 3 \end{aligned}

$Einsetzen in die Medianformel$ :

\operatorname{Me} = 42{,}5 + \left( \frac{15 - 13}{16} \right) \times 3

Der geschätzte Median der Schuhgrößen beträgt $42{,}875$ . Dieser Wert liegt zwischen den stetigen Klassengrenzen $42{,}5$ und $45{,}5$ , die für die Interpolation verwendet werden.

Das Ergebnis ist eine $Schätzung$ , die aus den gruppierten Intervallen stammt. Durch die Gruppierung gehen die genauen Werte innerhalb der Intervalle verloren. Für den Mittelwert gruppierter Daten gilt dieselbe Einschränkung.

Modalklasse bei gruppierten Daten

Die $Modalklasse$ ist das Klassenintervall mit der $höchsten Häufigkeit$ . Es enthält also $mehr Beobachtungen als jedes andere Intervall$ .

$Durchgerechnetes Beispiel$ :

Die folgende Tabelle zeigt die verkauften Schuhgrößen in Geschäft A:

Schuhgröße (Klassenintervall)	Häufigkeit ( $f_i$ )
$37\text{-}39$	$2$
$40\text{-}42$	$11$
$43\text{-}45$	$16$ (höchste Häufigkeit)
$46\text{-}48$	$1$
$Gesamt$	$30$

Die höchste Häufigkeit beträgt $16$ . Damit ist $43\text{-}45$ die Modalklasse.

Median für gruppierte Daten

Medianklasse und Medianposition bestimmen

\operatorname{Me}=L+\frac{n/2-F}{f_{\mathrm{Me}}}\,c

Symbol	Bedeutung
$\operatorname{Me}$	Geschätzter Median
$L$	Untere stetige Grenze der Medianklasse
$n$	Gesamthäufigkeit
$F$	Kumulierte Häufigkeit vor der Medianklasse
$f_{\mathrm{Me}}$	Häufigkeit der Medianklasse
$c$	Klassenbreite

$Durchgerechnetes Beispiel$ :

Wir verwenden wieder die Schuhgrößen aus Geschäft A.

Schuhgröße	Häufigkeit ( $f_i$ )	Kumulierte Häufigkeit ( $F_k$ )
$37\text{-}39$	$2$	$2$
$40\text{-}42$	$11$	$2 + 11 = 13$
$43\text{-}45$	$16$ ( $f_{\mathrm{Me}}$ )	$13 + 16 = 29$
$46\text{-}48$	$1$	$29 + 1 = 30$
Gesamt	$n = 30$

Größe	Wert
$L$	$43-0{,}5=42{,}5$
$n/2$	$30/2=15$
$F$	$13$
$f_{\mathrm{Me}}$	$16$

Die Klassenbreite ist die Differenz der beiden stetigen Grenzen:

\begin{aligned} c &= (45 + 0{,}5) - (43 - 0{,}5) \\ &= 45{,}5 - 42{,}5 \\ &= 3 \end{aligned}

$Einsetzen in die Medianformel$ :

\operatorname{Me} = 42{,}5 + \left( \frac{15 - 13}{16} \right) \times 3

Der geschätzte Median der Schuhgrößen beträgt $42{,}875$ . Dieser Wert liegt zwischen den stetigen Klassengrenzen $42{,}5$ und $45{,}5$ , die für die Interpolation verwendet werden.