Modus und Median

Der Median ist der mittlere Wert eines geordneten Datensatzes.

So bestimmst du den Median:

1. Sortiere die Daten vom kleinsten zum größten Wert.
2. Bestimme die mittlere Position oder die beiden mittleren Positionen.

• Bei einer ungeraden Anzahl von Datenwerten ($n$ ist ungerade):

  $$\text{Median} = \text{Wert an Position} \frac{n+1}{2}$$

  Beispiel mit einer ungeraden Anzahl von Werten:

  Die Punktzahlen von $5 \text{Lernenden}$ lauten $7, 8, 6, 9, 7$.

  Sortiert: $6, 7, 7, 8, 9$ (insgesamt $5$ Werte, also $n=5$)

  Mittlere Position: $(5+1)/2 = 3$. An Position $3$ steht der Wert $7$.

  Somit gilt $\text{Median} = 7$.

• Bei einer geraden Anzahl von Datenwerten ($n$ ist gerade):

  $$\text{Median} = \frac{\text{Wert an Position}(n/2) + \text{Wert an Position}((n/2)+1)}{2}$$

Weil der Median von der Position und nicht von der Größe der Werte abhängt, verändern einzelne besonders große oder kleine Randwerte ihn kaum.

Modus: Der häufigste Wert

Der Modus ist der Wert, der am häufigsten vorkommt, also der Wert mit der höchsten Häufigkeit.

So bestimmst du den Modus:

1. Zähle, wie oft jeder Wert vorkommt.
2. Bestimme den Wert oder die Werte mit der höchsten Häufigkeit.

Beispiel:

Testergebnisse:

• Der Wert $6$ erscheint $1 \text{Mal}$.
• Der Wert $7$ erscheint $3 \text{Mal}$.
• Der Wert $8$ erscheint $2 \text{Mal}$.
• Der Wert $9$ erscheint $1 \text{Mal}$.

Am häufigsten erscheint $7$, und zwar $3 \text{Mal}$.

Der Modus ist also $7$.

Wichtige Hinweise zum Modus:

• Wenn alle Werte gleich häufig vorkommen, ist kein Wert eindeutig am häufigsten. Nach der hier verwendeten Konvention hat der Datensatz dann keinen Modus.
• Er kann einen Modus haben (unimodal).
• Er kann zwei Modi haben (bimodal), wenn zwei Werte dieselbe höchste Häufigkeit besitzen.
• Er kann mehr als zwei Modi haben (multimodal).

Ein einzelner isolierter Extremwert ändert den Modus normalerweise nicht, da seine Häufigkeit nur eins beträgt.

Die Spannweite zeigt die Gesamtbreite

Neben der Mitte interessiert uns oft, wie weit gestreut die Daten sind. Die Spannweite liefert dafür ein schnelles Maß.

Die Spannweite ist die Differenz zwischen dem größten und dem kleinsten Datenwert.

Beispiel:

Daten: $6, 7, 7, 8, 9, 10$

Größter Wert $= 10$

Kleinster Wert $= 6$

Spannweite $= 10 - 6 = 4$

Die Spannweite zeigt den Abstand zwischen den beiden Endpunkten, beschreibt aber nicht, wie die Werte dazwischen verteilt sind.

Median und Modus beschreiben die Mitte eines Datensatzes, die Spannweite seine Gesamtbreite.

Beispiel mit einer geraden Anzahl von Werten:

Die Punktzahlen von $6 \text{Lernenden}$ lauten $7, 8, 6, 9, 7, 10$.

Sortiert: $6, 7, 7, 8, 9, 10$ (insgesamt $6$ Werte, also $n=6$)

Die mittleren Positionen sind $6/2 = 3$ und $(6/2) + 1 = 4$.

Die beiden mittleren Zahlen sind $7$ und $8$.

Der Median ist das arithmetische Mittel von $7$ und $8$: $(7+8)/2 = 7{,}5$.

Der Median beträgt also $7{,}5$.