Fläche zwischen Kurve und Achse

Rechteckstreifen unter einer Kurve addieren

Für einfache Figuren wie Rechtecke oder Dreiecke gibt es vertraute Flächenformeln. Wird eine Fläche jedoch von einer gekrümmten Linie begrenzt, reicht keine dieser Formeln direkt aus.

Bestimmte Integrale behandeln solche Flächen, indem sie die Inhalte immer schmalerer Streifen akkumulieren. Das ist die Idee hinter Riemann-Summen: Wir zerlegen das Intervall, nähern jeden Streifen durch ein Rechteck an und betrachten den Grenzwert der Summe.

Eine Funktion $f(x)$ begrenze eine Fläche von $x = a$ bis $x = b$. Wir zerlegen $[a, b]$ in $n$ Teilintervalle der Breite $\Delta x$.

Für eine stetige, nicht negative Funktion auf $[a,b]$ mit $a<b$ lautet die Flächenformel:

Fläche mit einem bestimmten Integral bestimmen

Bestimme für eine Fläche zuerst Grenzen und Streifenhöhe, dann eine Stammfunktion. Das Beispiel $f(x)=x$ auf $[0,2]$ zeigt diese drei Entscheidungen.

Die Funktion $F$ ist eine Stammfunktion von $f$.

Liegt der Graph unterhalb der Achse, verwende den Betrag als Höhe. Bei einem Vorzeichenwechsel zerlegst du das Intervall an den Nullstellen, damit sich Flächen nicht gegenseitig aufheben.

Anwendung auf quadratische Funktionen

Betrachte die Fläche zwischen $f(x) = x^2 - 4x$ und der $x$-Achse im Intervall von $x = 1$ bis $x = 3$.

Auf $[1,3]$ lässt sich die Funktion als $f(x)=x(x-4)$ faktorisieren. Jeder Punkt des Intervalls erfüllt $x>0$ und $x-4<0$. Daher gilt im gesamten Intervall $f(x)<0$. Die Randwerte $f(1)=-3$ und $f(3)=-3$ stimmen mit dieser Vorzeichenanalyse überein.

Hier ist das Vorzeichen entscheidend: Ein geometrischer Flächeninhalt ist nicht negativ. Da der Graph im gesamten Intervall unterhalb der Achse liegt, integrieren wir den Betrag der Funktion:

Eine Stammfunktion liefert nun:

Daher beträgt die Fläche dieser Region $\frac{22}{3}$ Quadrateinheiten.

Anwendung auf eine Wurzelfunktion

Im zweiten Beispiel berechnen wir die Fläche unter $f(x) = x\sqrt{x^2 + 5}$ von $x = 0$ bis $x = 2$.

Die Form $x\sqrt{x^2 + 5}$ legt eine Substitution nahe: Der lineare Faktor $x$ passt bis auf einen konstanten Faktor zur Ableitung des Ausdrucks unter der Wurzel.

Setze $u = x^2 + 5$. Dann gilt $du = 2x \, dx$ und damit $x \, dx = \frac{1}{2} du$.

Auch die Grenzen werden in die neue Variable umgerechnet: Aus $x = 0$ folgt $u = 5$, und aus $x = 2$ folgt $u = 9$.

Nun wird unser Integral:

Dabei gilt $9^{3/2} = (3^2)^{3/2} = 3^3 = 27$ und $5^{3/2} = 5 \cdot \sqrt{5}$.

Bei einer Substitution im bestimmten Integral müssen auch die Integrationsgrenzen zur neuen Variablen passen.

Übungen

Grenzen können vorgegeben sein oder aus Schnittpunkten folgen. Prüfe das Vorzeichen der Funktion im Intervall, damit das Integral den geometrischen Flächeninhalt ergibt.

1. Berechne die Fläche des Bereichs, der durch $y = x^2 + 1$, die $x$-Achse sowie die Geraden $x = 0$ und $x = 2$ begrenzt wird.

2. Bestimme die Fläche unter der Kurve $y = \frac{1}{x^2 + 1}$ von $x = 0$ bis $x = 1$.

3. Berechne die Fläche des Bereichs, der durch $y = 2x - x^2$ und die $x$-Achse begrenzt wird.

Lösungen

Aufgabe 1. Da diese Funktion immer positiv ist, können wir das Integral direkt aufstellen:

Nach der Integration und Auswertung erhalten wir:

Daher beträgt die Fläche dieser Region $\frac{14}{3}$ Quadrateinheiten.

Aufgabe 2. Für dieses Integral müssen wir bedenken, dass die Stammfunktion von $\frac{1}{x^2 + 1}$ $\arctan(x)$ ist.

Die Fläche dieser Region beträgt $\frac{\pi}{4}$ Quadrateinheiten.

Aufgabe 3. Finden wir zunächst heraus, wo die Kurve die $x$-Achse schneidet:

Die Schnittpunkte liegen also bei $x = 0$ und $x = 2$. Da diese Funktion zwischen diesen beiden Punkten positiv ist, können wir Folgendes direkt integrieren:

Die Fläche dieser Region beträgt $\frac{4}{3}$ Quadrateinheiten.