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Für einfache Figuren wie Rechtecke oder Dreiecke gibt es vertraute Flächenformeln. Wird eine Fläche jedoch von einer gekrümmten Linie begrenzt, reicht keine dieser Formeln direkt aus.
Bestimmte Integrale behandeln solche Flächen, indem sie die Inhalte immer schmalerer Streifen akkumulieren. Das ist die Idee hinter Riemann-Summen: Wir zerlegen das Intervall, nähern jeden Streifen durch ein Rechteck an und betrachten den Grenzwert der Summe.
Eine Funktion begrenze eine Fläche von bis . Wir zerlegen in Teilintervalle der Breite .
Die Rechnung lässt sich in drei klare Schritte gliedern:
Der erste Schritt besteht darin, die untere und obere Grenze der Integration zu bestimmen. Diese Grenzen geben den Bereich der -Werte an, die die Region begrenzen, deren Fläche wir berechnen möchten.
Der Integrand beschreibt die vertikale Höhe der Fläche. Gilt im gesamten Intervall , dann ist der Flächeninhalt . Schneidet der Graph die Achse, teilen wir das Intervall an seinen Nullstellen oder integrieren , damit jeder Teil positiv zum Flächeninhalt beiträgt.
Nachdem wir die Grenzen und die Funktion bestimmt haben, können wir das Integral mithilfe des Grundsatzes der Analysis auswerten:
Dabei ist die Stammfunktion von .
Wenden wir dieses Konzept auf ein konkretes Beispiel an. Angenommen, wir möchten die Fläche der Region berechnen, die durch die Kurve und die -Achse zwischen und begrenzt wird.
Auf lässt sich die Funktion als faktorisieren. Jeder Punkt des Intervalls erfüllt und . Daher gilt im gesamten Intervall . Die Randwerte und stimmen mit dieser Vorzeichenanalyse überein.
Hier ist das Vorzeichen entscheidend: Ein geometrischer Flächeninhalt ist nicht negativ. Da der Graph im gesamten Intervall unterhalb der Achse liegt, integrieren wir den Betrag der Funktion:
Eine Stammfunktion liefert nun:
Daher beträgt die Fläche dieser Region Quadrateinheiten.
Im zweiten Beispiel berechnen wir die Fläche unter von bis .
Die Form legt eine Substitution nahe: Der lineare Faktor passt bis auf einen konstanten Faktor zur Ableitung des Ausdrucks unter der Wurzel.
Setze . Dann gilt und damit .
Auch die Grenzen werden in die neue Variable umgerechnet: Aus folgt , und aus folgt .
Nun wird unser Integral:
Beachte, dass und gelten.
Bei einer Substitution im bestimmten Integral müssen auch die Integrationsgrenzen zur neuen Variablen passen.
Berechne die Fläche des Bereichs, der durch , die -Achse sowie die Geraden und begrenzt wird.
Bestimme die Fläche unter der Kurve von bis .
Berechne die Fläche des Bereichs, der durch und die -Achse begrenzt wird.
Erstes Problem mit der Funktion
Da diese Funktion immer positiv ist, können wir das Integral direkt aufstellen:
Nach der Integration und Auswertung erhalten wir:
Daher beträgt die Fläche dieser Region Quadrateinheiten.
Zweites Problem mit rationaler Funktion
Für dieses Integral müssen wir bedenken, dass die Stammfunktion von ist.
Drittes Problem mit Parabel
Finden wir zunächst heraus, wo die Kurve die -Achse schneidet:
Die Fläche dieser Region beträgt Quadrateinheiten.
Die Schnittpunkte liegen also bei und . Da diese Funktion zwischen diesen beiden Punkten positiv ist, können wir Folgendes direkt integrieren:
Die Fläche dieser Region beträgt Quadrateinheiten.
