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Das bestimmte Integral beschreibt diese Akkumulation im Grenzwert. Es ist als Grenzwert von Riemann-Summen definiert, sofern dieser Grenzwert existiert.
Jeder Teil der Notation hat eine klare Bedeutung:
Ein unbestimmtes Integral umfasst alle Funktionen der Form . Ein bestimmtes Integral ist dagegen eine einzelne Zahl. Sie beschreibt die vorzeichenbehaftete Akkumulation von bis . Nur bei einem nichtnegativen Integranden entspricht diese Zahl dem geometrischen Flächeninhalt.
Aufgabe: Berechne den Wert von .
Lösung:
Dazu schreiben wir das Integral wieder als Grenzwert einer Riemann-Summe.
Schritt 1: Bestandteile der Riemann-Summe bestimmen
Aus dem Problem wissen wir:
Somit beträgt die Breite jedes Teilintervalls:
Als Stützstelle jedes Teilintervalls verwenden wir den rechten Endpunkt :
Schritt 2: Riemann-Summe aufstellen
Die Höhe jedes Rechtecks beträgt , also:
Nun setzen wir diesen Ausdruck in die Riemann-Summe ein:
Schritt 3: Vereinfachen und die Summenformel anwenden
ist für die Summe von bis konstant. Deshalb kann der Faktor vor das Summenzeichen gezogen werden.
Als Nächstes ersetzen wir durch die Summenformel und vereinfachen den Ausdruck, bevor wir den Grenzwert bilden.
Zuerst kürzen wir in Zähler und Nenner. Anschließend zerlegen wir den verbleibenden Bruch so, dass der Grenzwert direkt ablesbar wird.
Für Grenzwerte von Riemann-Summen sind diese Summenformeln besonders nützlich:
Schritt 4: Grenzwert bilden
Nun lassen wir gehen. Dabei nähert sich dem Wert null.
Da zwischen und nichtnegativ ist, entspricht das Integral zugleich dem geometrischen Flächeninhalt: beziehungsweise Quadrateinheiten. Der Grenzwert hat die Rechtecknäherungen in einen exakten Wert überführt.
Schreibe die Summe mit rechten Stützstellen als . Vor dem Grenzübergang können wir mehrere Werte von prüfen. Weil der Graph steigt, liefern die rechten Stützstellen eine Überschätzung.
| Anzahl der Rechtecke | Näherung mit rechten Stützstellen |
|---|---|
Der Abstand zum exakten Wert beträgt . Wenn sich die Rechteckanzahl verdoppelt, halbiert sich der Fehler in diesem linearen Beispiel. Den exakten Flächeninhalt kannst du auch als Dreiecksfläche mit Grundseite und Höhe prüfen:
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