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Im Material Riemann-Summen haben wir die Fläche unter einer nichtnegativen Kurve durch Rechtecke angenähert. Wird die Zerlegung immer feiner, nähern sich die Riemann-Summen bei einer integrierbaren Funktion demselben Wert.
Nun lassen wir die Rechteckbreite gegen null gehen, während die Anzahl der Rechtecke unbegrenzt wächst. Entscheidend ist, dass die Maschenweite gegen null geht. Der Grenzwert der Riemann-Summen ersetzt die Näherung durch einen exakten Wert. Genau daraus entsteht das bestimmte Integral.
Das bestimmte Integral beschreibt diese Akkumulation im Grenzwert. Es ist als Grenzwert von Riemann-Summen definiert, sofern dieser Grenzwert existiert.
Jeder Teil der Notation hat eine klare Bedeutung:
Im Gegensatz zum unbestimmten Integral, das eine Funktionenfamilie () beschreibt, ist ein bestimmtes Integral eine einzelne Zahl. Es misst die vorzeichenbehaftete Akkumulation von bis und entspricht nur bei einem nichtnegativen Integranden dem geometrischen Flächeninhalt.
Wir berechnen nun ein bestimmtes Integral direkt aus seiner Grenzwertdefinition.
Aufgabe: Berechne den Wert von .
Lösung:
Dazu schreiben wir das Integral wieder als Grenzwert einer Riemann-Summe.
Schritt : Bestandteile der Riemann-Summe bestimmen
Aus dem Problem wissen wir:
Somit beträgt die Breite jedes Teilintervalls:
Als Stützstelle jedes Teilintervalls verwenden wir den rechten Endpunkt :
Schritt : Riemann-Summe aufstellen
Die Höhe jedes Rechtecks beträgt , also:
Nun setzen wir diesen Ausdruck in die Riemann-Summe ein:
Schritt : Vereinfachen und die Summenformel anwenden
ist für die Summe von bis konstant. Deshalb kann der Faktor vor das Summenzeichen gezogen werden.
Als Nächstes ersetzen wir durch die Summenformel und vereinfachen den Ausdruck, bevor wir den Grenzwert bilden.
Zuerst kürzen wir in Zähler und Nenner. Anschließend zerlegen wir den verbleibenden Bruch so, dass der Grenzwert direkt ablesbar wird.
Für Grenzwerte von Riemann-Summen sind diese Summenformeln besonders nützlich:
Schritt : Grenzwert bilden
Nun lassen wir gehen. Dabei nähert sich dem Wert null.
Da zwischen und nichtnegativ ist, entspricht das Integral zugleich dem geometrischen Flächeninhalt: beziehungsweise Quadrateinheiten. Der Grenzwert hat die Rechtecknäherungen in einen exakten Wert überführt.
