Eigenschaften des unbestimmten Integrals

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Erhöhe den Exponenten um eins und dividiere durch den $neuen Exponenten$ . Wende die Formel auf einem Intervall an, auf dem der Integrand definiert ist. Für beliebige reelle Exponenten eignet sich ein Intervall mit $x>0$ .

Der Wert $n=-1$ ist ausgeschlossen, weil der Nenner sonst null wäre. Für diesen Fall gilt die logarithmische Regel $\int x^{-1}\,dx=\ln|x|+C$ .

Berechnen wir als Beispiel $\int x^5 \, dx$ .

Hier ist $n=5$ , also:

\int x^5 \, dx = \frac{1}{5+1}x^{5+1} + C

Regel für konstante Vielfache

Ein $konstanter Faktor kann vor das Integral gezogen werden$ :

Ist $F'(x)=f(x)$ , ergibt die Multiplikation der Stammfunktion mit einer Konstanten:

\int a f(x)\,dx=aF(x)+C

Die Integrationskonstante bleibt erhalten, auch wenn $a=0$ ist. Zum Beispiel bleibt der Faktor $-3$ aus $-3x^2$ beim Integrieren erhalten:

\int -3x^2\,dx=-3\frac{x^3}{3}+C=-x^3+C

Dabei muss $a$ bezüglich der Integrationsvariablen konstant sein.

Summenregel und Differenzenregel

Eine Summe oder Differenz kann $gliedweise integriert$ werden.

\begin{aligned} &\int [f(x) \pm g(x)] \, dx = \int f(x) \, dx \\ &\pm \int g(x) \, dx \end{aligned}

Um beispielsweise $\int (x^4 - x^3) \, dx$ zu lösen, trennen wir sie zunächst:

\int (x^4 - x^3) \, dx = \int x^4 \, dx - \int x^3 \, dx

Am Ende genügt eine Integrationskonstante $C$ . Formal können die Konstanten der beiden Stammfunktionen als $C_1$ und $C_2$ bezeichnet werden. Ihre Summe oder Differenz ist wieder eine beliebige Konstante, die eine einzige $C$ vollständig erfasst.

Substitutionsregel

Enthält der Integrand einen verketteten Ausdruck zusammen mit dessen Ableitung oder einem konstanten Vielfachen davon, setzen wir den inneren Ausdruck als neue Variable, meist $u=g(x)$ . Anschließend ersetzt $du=g'(x)\,dx$ den passenden Ableitungsfaktor.

\int f(g(x)) \cdot g'(x) \, dx = \int f(u) \, du

Dieser Variablenwechsel heißt $u-Substitution$ . Ist der passende Ableitungsfaktor vorhanden, wird aus dem verketteten Integranden $f(u)$ .

Übungen

Die ersten beiden Aufgaben verwenden die $Linearität des Integrals$ und die Potenzregel. In der dritten Aufgabe steht neben dem Ausdruck $x^2+3$ seine Ableitung $2x$ . Das legt eine Substitution nahe.

Bestimme $\int 6x^2 \, dx$ .
Bestimme $\int (3x^2 + 2x - 5) \, dx$ .
Löse $\int 2x(x^2 + 3)^4 \, dx$ mit der Substitutionsregel.

Lösungen

$Aufgabe 1$ . Für $\int 6x^2 \, dx$ verwenden wir die $Faktorregel$ und die $Potenzregel$ .

$Schritt 1$ : Ziehe den konstanten Faktor $6$ vor das Integral.

\int 6x^2 \, dx = 6 \int x^2 \, dx

$Schritt 2$ : Wende die Potenzregel auf $\int x^2 \, dx$ an, wobei $n=2$ .

\int 6x^2\,dx=6\left(\frac{x^{2+1}}{2+1}\right)+C

$Schritt 3$ : Multipliziere die konstanten Faktoren.

\int 6x^2\,dx=2x^3+C

$Aufgabe 2$ . Für das Integral $\int (3x^2 + 2x - 5) \, dx$ verwenden wir die $Summen- und Differenzenregel$ , um es in drei separate Integrale zu zerlegen.

$Schritt 1$ : Zerlege die Summe in einzelne Integrale.

\int(3x^2+2x-5)\,dx=\int3x^2\,dx+\int2x\,dx-\int5\,dx

$Schritt 2$ : Integriere jeden Term mit der Potenz- beziehungsweise Faktorregel.

\int(3x^2+2x-5)\,dx=3\left(\frac{x^3}{3}\right)+2\left(\frac{x^2}{2}\right)-5x+C

Die Antwort lautet also $x^3 + x^2 - 5x + C$ .

$Aufgabe 3$ . Das Integral $\int 2x(x^2 + 3)^4 \, dx$ lässt sich durch $Substitution$ berechnen, weil der Faktor $2x$ die Ableitung des Klammerausdrucks ist.

$Schritt 1$ : Wähle den Klammerausdruck als $u$ .

Sei: $u = x^2 + 3$ .

$Schritt 2$ : Bestimme die Ableitung von $u$ nach $x$ , also $du/dx$ .

\frac{du}{dx} = 2x

Daraus können wir $du = 2x \, dx$ schreiben.

$Schritt 3$ : Ersetze $x^2+3$ durch $u$ und $2x \, dx$ durch $du$ .

\int (x^2 + 3)^4 (2x \, dx) = \int u^4 \, du

$Schritt 4$ : Integriere den vereinfachten Ausdruck mit der Potenzregel.

\int u^4 \, du = \frac{1}{5}u^5 + C

$Schritt 5$ : Setze für $u$ wieder den ursprünglichen Ausdruck ein.

\int2x(x^2+3)^4\,dx=\frac15(x^2+3)^5+C

Prüfe das Ergebnis durch $erneutes Ableiten$ . Mit der Kettenregel erhältst du den ursprünglichen Integranden:

\frac{d}{dx}\left[\frac15(x^2+3)^5+C\right]=\frac15\cdot5(x^2+3)^4\cdot2x=2x(x^2+3)^4