Eigenschaften des unbestimmten Integrals

Erhöhe den Exponenten um eins und dividiere anschließend durch diesen neuen Exponenten.

Der Wert $n=-1$ ist ausgeschlossen, weil der Nenner sonst null wäre. Für diesen Fall gilt die logarithmische Regel $\int x^{-1}\,dx=\ln|x|+C$.

Berechnen wir als Beispiel $\int x^5 \, dx$.

Hier ist $n=5$, also:

Regel für konstante Vielfache

Ein konstanter Faktor kann vor das Integral gezogen werden:

Dabei muss $a$ bezüglich der Integrationsvariablen konstant sein.

Summen- und Differenzenregel

Eine Summe oder Differenz kann gliedweise integriert werden.

Um beispielsweise $\int (x^4 - x^3) \, dx$ zu lösen, trennen wir sie zunächst:

Am Ende genügt eine Integrationskonstante $C$. Formal könnten die beiden Stammfunktionen $C_1$ und $C_2$ tragen. Ihre Summe oder Differenz ist jedoch wieder eine beliebige Konstante, die eine einzige $C$ vollständig erfasst.

Substitutionsregel

Enthält der Integrand einen verketteten Ausdruck zusammen mit dessen Ableitung oder einem konstanten Vielfachen davon, kann die Substitution eine einfachere Form sichtbar machen. Wir ersetzen den inneren Ausdruck durch eine neue Variable, meist $u$.

Dies wird oft als u-Substitution bezeichnet. Diese Methode eignet sich zum Lösen von Integralen mit verschachtelten Ausdrücken.

Übungen

1. Bestimme $\int 6x^2 \, dx$.
2. Bestimme $\int (3x^2 + 2x - 5) \, dx$.
3. Löse $\int 2x(x^2 + 3)^4 \, dx$ mit der Substitutionsregel.

Ausführliche Lösungen

1. Für $\int 6x^2 \, dx$ verwenden wir die Faktorregel und die Potenzregel.

   Schritt $1$: Ziehe den konstanten Faktor $6$ vor das Integral.

   $$\int 6x^2 \, dx = 6 \int x^2 \, dx$$

   Schritt $2$: Wende die Potenzregel auf $\int x^2 \, dx$ an, wobei $n=2$.

   $$6 \left( \frac{1}{2+1}x^{2+1} \right) + C$$

   Schritt $3$: Multipliziere die konstanten Faktoren.

   $$= 2x^3 + C$$

2. Für das Integral $\int (3x^2 + 2x - 5) \, dx$ verwenden wir die Summen- und Differenzenregel, um es in drei separate Integrale zu zerlegen.

   Schritt $1$: Zerlege die Summe in einzelne Integrale.

   $$\int 3x^2 \, dx + \int 2x \, dx - \int 5 \, dx$$

3. Das Integral $\int 2x(x^2 + 3)^4 \, dx$ ist ein klassisches Beispiel für die Substitutionsregel.

   Schritt $1$: Wähle den Klammerausdruck als $u$.

Schritt $2$: Integriere jeden Term mit der Potenz- beziehungsweise Faktorregel.

Die Antwort lautet also $x^3 + x^2 - 5x + C$.

Sei: $u = x^2 + 3$.

Schritt $2$: Bestimme die Ableitung von $u$ nach $x$, also $du/dx$.

Daraus können wir $du = 2x \, dx$ schreiben.

Schritt $3$: Ersetze $x^2+3$ durch $u$ und $2x \, dx$ durch $du$.

Schritt $4$: Integriere den vereinfachten Ausdruck mit der Potenzregel.

Schritt $5$: Setze für $u$ wieder den ursprünglichen Ausdruck ein.

Dies ist das Endergebnis.