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Eine Funktion begrenze eine Fläche von bis . Wir zerlegen in Teilintervalle der Breite .
Für eine stetige, nicht negative Funktion auf mit lautet die Flächenformel:
Bestimme für eine Fläche zuerst Grenzen und Streifenhöhe, dann eine Stammfunktion. Das Beispiel auf zeigt diese drei Entscheidungen.
| Entscheidung | Beispiel | Begründung |
|---|---|---|
| Grenzen | Sie folgen aus dem vorgegebenen Intervall. | |
| Höhe | Der Graph liegt hier oberhalb der Achse. | |
| Stammfunktion | Ihre Ableitung ist wieder . |
Die Funktion ist eine Stammfunktion von .
Liegt der Graph unterhalb der Achse, verwende den Betrag als Höhe. Bei einem Vorzeichenwechsel zerlegst du das Intervall an den Nullstellen, damit sich Flächen nicht gegenseitig aufheben.
Betrachte die Fläche zwischen und der -Achse im Intervall von bis .
Auf lässt sich die Funktion als faktorisieren. Jeder Punkt des Intervalls erfüllt und . Daher gilt im gesamten Intervall . Die Randwerte und stimmen mit dieser Vorzeichenanalyse überein.
Hier ist das Vorzeichen entscheidend: Ein geometrischer Flächeninhalt ist nicht negativ. Da der Graph im gesamten Intervall unterhalb der Achse liegt, integrieren wir den Betrag der Funktion:
Eine Stammfunktion liefert nun:
Daher beträgt die Fläche dieser Region Quadrateinheiten.
Im zweiten Beispiel berechnen wir die Fläche unter von bis .
Die Form legt eine Substitution nahe: Der lineare Faktor passt bis auf einen konstanten Faktor zur Ableitung des Ausdrucks unter der Wurzel.
Setze . Dann gilt und damit .
Auch die Grenzen werden in die neue Variable umgerechnet: Aus folgt , und aus folgt .
Nun wird unser Integral:
Dabei gilt und .
Bei einer Substitution im bestimmten Integral müssen auch die Integrationsgrenzen zur neuen Variablen passen.
Grenzen können vorgegeben sein oder aus Schnittpunkten folgen. Prüfe das Vorzeichen der Funktion im Intervall, damit das Integral den geometrischen Flächeninhalt ergibt.
Berechne die Fläche des Bereichs, der durch , die -Achse sowie die Geraden und begrenzt wird.
Bestimme die Fläche unter der Kurve von bis .
Berechne die Fläche des Bereichs, der durch und die -Achse begrenzt wird.
Aufgabe 1. Da diese Funktion immer positiv ist, können wir das Integral direkt aufstellen:
Nach der Integration und Auswertung erhalten wir:
Daher beträgt die Fläche dieser Region Quadrateinheiten.
Aufgabe 2. Für dieses Integral müssen wir bedenken, dass die Stammfunktion von ist.
Die Fläche dieser Region beträgt Quadrateinheiten.
Aufgabe 3. Finden wir zunächst heraus, wo die Kurve die -Achse schneidet:
Die Schnittpunkte liegen also bei und . Da diese Funktion zwischen diesen beiden Punkten positiv ist, können wir Folgendes direkt integrieren:
Die Fläche dieser Region beträgt Quadrateinheiten.
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