Stellen Sie sich vor, Sie ziehen eine Karte aus einem Stapel und danach zieht ein Freund die nächste. Verändert Ihre Karte die Wahrscheinlichkeit seiner möglichen Karten? Ohne Zurücklegen ist das oft der Fall. Mit der bedingten Wahrscheinlichkeit berechnen wir die zweite Wahrscheinlichkeit anhand der Information aus der ersten Ziehung.
Die von unter der Bedingung fragt: Welcher Anteil der Ergebnisse mit erfüllt zusätzlich ? Ändert sich die Antwort durch , sind die Ereignisse abhängig. Bleibt sie gleich, sind sie unabhängig.
bedingte Wahrscheinlichkeit
B
A
A
B
A
Entscheidend ist, die möglichen Ergebnisse anhand der bereits bekannten Bedingung zu aktualisieren, bevor wir die nächste Wahrscheinlichkeit berechnen.
Ein übliches Kartenspiel enthält 52Karten, darunter 4Asse und 4Ko¨nige. Zwei Karten werden ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für zuerst ein Ass und danach einen König?
Schritt-für-Schritt-Analyse:
Wir definieren:
Ereignis C: Bei der ersten Ziehung kommt ein Ass
Ereignis D: Bei der zweiten Ziehung kommt ein König
Wahrscheinlichkeitsrechnung:
P(C)=524=131
P(D∣C)=514
P(C∩D)=P(C)×P(D∣C)=524×514=131×514=6634
Nachdem ein Ass gezogen wurde, bleiben 51Karten übrig. Alle 4Ko¨nige sind noch vorhanden, daher beträgt die bedingte Wahrscheinlichkeit, einen König zu ziehen, 514.
Stellen Sie sich ein hypothetisches Unternehmen vor, das die Verteilung der Manager nach Geschlecht und Stellenebene überprüft. Seine Daten haben folgende Zusammensetzung:
Führungsposition
Männlich
Weiblich
Gesamt
Senior (S)
78
122
200
Mitte (M)
78
122
200
Junior (J)
44
156
200
Gesamt
200
400
600
Sei L das Ereignis, dass eine ausgewählte Führungskraft männlich ist.
Das Unternehmen wählt nach dem Zufallsprinzip zwei ersatzlose Manager für ein Gremium aus. Die Wahrscheinlichkeit, dass beide ausgewählten Manager männlich sind, beträgt:
P(L1)=600200=31
P(L2∣L1)=599199
P(L1∩L2)=600200×599199=31×599199=1797199
Nach der Auswahl eines männlichen Managers bleiben insgesamt 599 Manager mit 199 männlichen Managern übrig, sodass die Wahrscheinlichkeit, einen zweiten männlichen Manager auszuwählen, auf 599199 sinkt.
Bei unabhängigen Ereignissen ändert die Bedingung die nächste Wahrscheinlichkeit nicht. Bei abhängigen Ereignissen ändert das bekannte Ergebnis entweder die günstige Anzahl, die Gesamtanzahl oder beides.
Konkretes Beispiel: Zwei Asse ziehen
Wir berechnen die Wahrscheinlichkeit dafür, aus einem üblichen Kartenspiel nacheinander zwei Asse zu ziehen (52Karten, davon 4 Asse).
Unabhängige Ziehungen (mit Zurücklegen):
Nach der ersten Ziehung wird die Karte zurückgelegt und der Stapel neu gemischt:
P(As1)=524=131
P(As2)=524=131
P(As1∩As2)=524×524=131×131=1691
Abhängige Ziehungen (ohne Zurücklegen):
Die erste Karte wird nicht zurückgelegt:
P(As1)=524=131
Ergebnisvergleich:
Mit Zurücklegen: 1691=0,00592
Ohne Zurücklegen: 2211=0,00452
In diesem Beispiel ist das Ergebnis ohne Zurücklegen kleiner. Nach dem ersten Ass sinkt die Zahl der verbleibenden Asse von 4 auf 3, während die Gesamtzahl der Karten von 52 auf 51 fällt.
Eine Schachtel enthält 8rote Kugeln und 12blaue Kugeln. Zwei Kugeln werden nacheinander ohne Zurücklegen gezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeit für zuerst Rot und danach Blau.
Ein Kartenspiel wird gemischt. Drei Karten werden nacheinander ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für Ass, dann König, dann Dame?
Bearbeiten Sie jede Aufgabe selbst, bevor Sie die ausführliche Lösung lesen. Notieren Sie bei jeder Ziehung die Anzahl der günstigen Karten und die neue Gesamtzahl, bevor Sie multiplizieren.
Sei A das Ereignis „erste Kugel rot“ und B das Ereignis „zweite Kugel blau“.
Zu Beginn liegen 8+12=20Kugeln in der Schachtel.
P(A)=208=52
P(B∣A)=1912
P(A∩B)=208×1912=52×1912=9524
Nach einer roten Kugel bleiben insgesamt 19Kugeln (8−1=7 rote und 12 blaue). Die Zahl der blauen Kugeln bleibt 12, daher beträgt die Wahrscheinlichkeit für Blau bei der zweiten Ziehung 1912.
Lösung:
Sei A das Ereignis „zuerst Ass“, K das Ereignis „danach König“ und Q das Ereignis „zuletzt Dame“.
Das Kartenspiel enthält 52Karten: 4 Asse, 4 Könige und Damen.
Bei jedem Ziehen sinkt die Gesamtzahl der Karten (52→51→50). Vom jeweils als Nächstes gesuchten Rang sind noch alle 4 Karten vorhanden: Ein gezogenes Ass entfernt keinen König, und ein gezogener König entfernt keine Dame.
