Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit

Bedingte Wahrscheinlichkeit und Abhängigkeit

Eine Person zieht eine Karte aus einem Stapel, danach zieht eine zweite Person die nächste. Ohne Zurücklegen verändert die erste Ziehung die Zusammensetzung des Stapels und damit die Wahrscheinlichkeiten der zweiten Ziehung. Mit der $bedingten Wahrscheinlichkeit$ berechnen wir diese zweite Wahrscheinlichkeit aus der Information über die erste Ziehung.

In einem endlichen Ergebnisraum mit gleich wahrscheinlichen Ergebnissen ist die $bedingte Wahrscheinlichkeit$ von $B$ unter der Bedingung $A$ der Anteil der Ergebnisse aus $A$ , die auch zu $B$ gehören. Verändert die Bedingung $A$ die Wahrscheinlichkeit von $B$ , sind die Ereignisse abhängig. Bleibt die Wahrscheinlichkeit gleich, sind sie unabhängig.

Entscheidend ist, die möglichen Ergebnisse anhand der bereits bekannten $Bedingung$ zu aktualisieren, bevor wir die nächste Wahrscheinlichkeit berechnen.

Mathematische Formel und Notation

Für Ereignisse $A$ und $B$ mit $P(A) > 0$ wird die $bedingte Wahrscheinlichkeit$ definiert durch:

P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}

Die Größen in dieser Formel bedeuten:

$P(B|A)$ ist die Wahrscheinlichkeit von $B$ unter der Bedingung, dass $A$ eingetreten ist
$P(A \cap B)$ ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass $A$ und $B$ gemeinsam eintreten
$P(A)$ ist die Wahrscheinlichkeit des bedingenden Ereignisses $A$

Durch Neuordnung der Definition erhält man die allgemeine Multiplikationsregel:

P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)

Sind die Ereignisse unabhängig, ändert die Information über $A$ nichts an der Wahrscheinlichkeit von $B$ :

P(B|A) = P(B)

Anwendung beim Kartenziehen

Beim Ziehen ohne Zurücklegen ändert sich der Ergebnisraum nach jeder Karte. Beide Beispiele unten aktualisieren die Wahrscheinlichkeiten beim zweiten Zug. Weil die erste Karte nicht zurückgelegt wird, ist der $Nenner der zweiten Wahrscheinlichkeit$ um eins kleiner.

Szenario mit Ass und König

Ein übliches Kartenspiel enthält $52 \text{ Karten}$ , darunter $4 \text{ Asse}$ und $4 \text{ Könige}$ . Zwei Karten werden ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für zuerst ein Ass und danach einen König?

$Schritt-für-Schritt-Analyse$ :

Wir definieren:

Ereignis $C$ : Bei der ersten Ziehung kommt ein Ass
Ereignis $D$ : Bei der zweiten Ziehung kommt ein König

Wahrscheinlichkeitsrechnung:

P(C) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}

Nachdem ein Ass gezogen wurde, bleiben $51 \text{ Karten}$ übrig. Alle $4 \text{ Könige}$ sind noch vorhanden, daher beträgt die bedingte Wahrscheinlichkeit, einen König zu ziehen, $\frac{4}{51}$ .

Zwei Herzkarten nacheinander

Beim Ziehen zweier Herzkarten verändert sich auch die $Anzahl der günstigen Karten$ :

Erste Ziehung: $P(A) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$
Zweite Ziehung nach Erhalt eines Herzens: $P(B|A) = \frac{12}{51}$

Die Wahrscheinlichkeit, bei beiden Ziehungen ein Herz zu ziehen, beträgt daher:

\begin{aligned} P(A \cap B) &= \frac{13}{52} \times \frac{12}{51} \\ &= \frac{156}{2652} \\ &= \frac{1}{17} \end{aligned}

Anwendung in der Managementauswahl

Angenommen, ein Unternehmen hat die folgenden Daten über seine Führungskräfte. Die Tabelle unterscheidet Geschlecht und Führungsebene, sodass wir eine Berechnung auf die passende Gruppe beschränken können.

Führungsposition	Männlich	Weiblich	Gesamt
Senior (S)	$78$	$122$	$200$
Mitte (M)	$78$	$122$	$200$
Junior (J)	$44$	$156$	$200$
$Gesamt$	$200$	$400$	$600$

Sei $L$ das Ereignis, dass eine ausgewählte Führungskraft männlich ist.

Ist bekannt, dass die gewählte Führungskraft zur Senior-Ebene gehört, besteht der Ergebnisraum nur aus der $Senior-Zeile$ statt aus allen Führungskräften. Von den $200$ Personen dieser Ebene sind $78$ männlich.

P(L|S)=\frac{78}{200}=0{,}39\ne\frac{200}{600}=P(L)

Die Information über die Führungsebene verändert hier die Geschlechtswahrscheinlichkeit. Bedingte Wahrscheinlichkeit $erfordert keine zeitliche Abfolge$ .

Das Unternehmen wählt nach dem Zufallsprinzip zwei Manager ohne Zurücklegen für ein Gremium aus. Die Wahrscheinlichkeit, dass beide ausgewählten Manager männlich sind, beträgt:

P(L_1) = \frac{200}{600} = \frac{1}{3}

Nach der Auswahl eines männlichen Managers bleiben insgesamt $599$ Manager mit $199$ männlichen Managern übrig, sodass die Wahrscheinlichkeit, einen zweiten männlichen Manager auszuwählen, auf $\frac{199}{599}$ sinkt.

So aktualisierst du den Ergebnisraum vor dem Multiplizieren

Der erste Schritt unten ersetzt den ursprünglichen Ergebnisraum $durch die Ergebnisse, die übrig bleiben$ . Die weiteren Schritte zeigen, wie diese Ersetzung eine bedingte Wahrscheinlichkeit von einem unabhängigen Produkt trennt.

Ergebnisraum vor dem Multiplizieren aktualisieren

Gehe bei Aufgaben zur bedingten Wahrscheinlichkeit so vor:

$Benenne die Ereignisse$ der ersten und zweiten Stufe eindeutig
$Aktualisiere die Bedingungen$ , nachdem das erste Ereignis eingetreten ist
$Berechne die Wahrscheinlichkeit$ des ersten Ereignisses aus der Ausgangslage
$Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit$ des zweiten Ereignisses aus der neuen Lage
$Multipliziere beide Wahrscheinlichkeiten$ , um die gemeinsame Wahrscheinlichkeit zu erhalten

Unabhängig oder abhängig

Bei $unabhängigen Ereignissen$ ändert die Bedingung die nächste Wahrscheinlichkeit nicht. Bei $abhängigen Ereignissen$ ändert das bekannte Ergebnis entweder die günstige Anzahl, die Gesamtanzahl oder beides.

$Konkretes Beispiel: Zwei Asse ziehen$

Wir berechnen die Wahrscheinlichkeit dafür, aus einem üblichen Kartenspiel nacheinander zwei Asse zu ziehen ( $52 \text{ Karten}$ , davon $4$ Asse). Sei $A_1$ das Ereignis, dass die erste Karte ein Ass ist, und $A_2$ das Ereignis, dass die zweite Karte ein Ass ist.

$Unabhängige Ziehungen (mit Zurücklegen)$ :

Nach der ersten Ziehung wird die Karte zurückgelegt und der Stapel neu gemischt:
$P(A_1) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$
$Abhängige Ziehungen (ohne Zurücklegen)$ :

Die erste Karte wird nicht zurückgelegt:
$P(A_1) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$

$Ergebnisvergleich$ :

Mit Zurücklegen: $\frac{1}{169} \approx 0{,}00592$
Ohne Zurücklegen: $\frac{1}{221} \approx 0{,}00452$

In diesem Beispiel ist das Ergebnis ohne Zurücklegen $kleiner$ . Nach dem ersten Ass sinkt die Zahl der verbleibenden Asse von $4$ auf $3$ , während die Gesamtzahl der Karten von $52$ auf $51$ fällt.

Übungen

Eine Schachtel enthält $8 \text{ rote Kugeln}$ und $12 \text{ blaue Kugeln}$ . Zwei Kugeln werden nacheinander ohne Zurücklegen gezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeit für zuerst Rot und danach Blau.
Ein Kartenspiel wird gemischt. Drei Karten werden nacheinander ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für Ass, dann König, dann Dame?

Bearbeite jede Aufgabe selbst, bevor du die ausführliche Lösung liest. Notiere bei jeder Ziehung die Anzahl der günstigen Karten und $die neue Gesamtzahl$ , bevor du multiplizierst.

Ausführliche Lösungen

$Aufgabe 1$

Sei $A$ das Ereignis „erste Kugel rot“ und $B$ das Ereignis „zweite Kugel blau“.

Zu Beginn liegen $8 + 12 = 20 \text{ Kugeln}$ in der Schachtel.

P(A) = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}

Nach einer roten Kugel bleiben insgesamt $19 \text{ Kugeln}$ ( $8 - 1 = 7$ rote und $12$ blaue). Die $Zahl der blauen Kugeln$ bleibt $12$ , daher beträgt die Wahrscheinlichkeit für Blau bei der zweiten Ziehung $\frac{12}{19}$ .

$Aufgabe 2$

Sei $A$ das Ereignis „zuerst Ass“, $K$ das Ereignis „danach König“ und $Q$ das Ereignis „zuletzt Dame“.

Das Kartenspiel enthält $52 \text{ Karten}$ : $4$ Asse, $4$ Könige und $4$ Damen.

P(A) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}

Bei jedem Ziehen $sinkt die Gesamtzahl der Karten$ ( $52$ → $51$ → $50$ ). Vom jeweils als Nächstes gesuchten Rang sind noch alle $4$ Karten vorhanden: Ein gezogenes Ass entfernt keinen König, und ein gezogener König entfernt keine Dame.