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In einem endlichen Ergebnisraum mit gleich wahrscheinlichen Ergebnissen ist die bedingte Wahrscheinlichkeit von unter der Bedingung der Anteil der Ergebnisse aus , die auch zu gehören. Verändert die Bedingung die Wahrscheinlichkeit von , sind die Ereignisse abhängig. Bleibt die Wahrscheinlichkeit gleich, sind sie unabhängig.
Entscheidend ist, die möglichen Ergebnisse anhand der bereits bekannten Bedingung zu aktualisieren, bevor wir die nächste Wahrscheinlichkeit berechnen.
Für Ereignisse und mit wird die bedingte Wahrscheinlichkeit definiert durch:
Die Größen in dieser Formel bedeuten:
Durch Neuordnung der Definition erhält man die allgemeine Multiplikationsregel:
Sind die Ereignisse unabhängig, ändert die Information über nichts an der Wahrscheinlichkeit von :
Beim Ziehen ohne Zurücklegen ändert sich der Ergebnisraum nach jeder Karte. Beide Beispiele unten aktualisieren die Wahrscheinlichkeiten beim zweiten Zug. Weil die erste Karte nicht zurückgelegt wird, ist der Nenner der zweiten Wahrscheinlichkeit um eins kleiner.
Ein übliches Kartenspiel enthält , darunter und . Zwei Karten werden ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für zuerst ein Ass und danach einen König?
Schritt-für-Schritt-Analyse:
Wir definieren:
Wahrscheinlichkeitsrechnung:
Nachdem ein Ass gezogen wurde, bleiben übrig. Alle sind noch vorhanden, daher beträgt die bedingte Wahrscheinlichkeit, einen König zu ziehen, .
Beim Ziehen zweier Herzkarten verändert sich auch die Anzahl der günstigen Karten:
Die Wahrscheinlichkeit, bei beiden Ziehungen ein Herz zu ziehen, beträgt daher:
Angenommen, ein Unternehmen hat die folgenden Daten über seine Führungskräfte. Die Tabelle unterscheidet Geschlecht und Führungsebene, sodass wir eine Berechnung auf die passende Gruppe beschränken können.
| Führungsposition | Männlich | Weiblich | Gesamt |
|---|---|---|---|
| Senior (S) | |||
| Mitte (M) | |||
| Junior (J) | |||
| Gesamt |
Sei das Ereignis, dass eine ausgewählte Führungskraft männlich ist.
Ist bekannt, dass die gewählte Führungskraft zur Senior-Ebene gehört, besteht der Ergebnisraum nur aus der Senior-Zeile statt aus allen Führungskräften. Von den Personen dieser Ebene sind männlich.
Die Information über die Führungsebene verändert hier die Geschlechtswahrscheinlichkeit. Bedingte Wahrscheinlichkeit erfordert keine zeitliche Abfolge.
Das Unternehmen wählt nach dem Zufallsprinzip zwei Manager ohne Zurücklegen für ein Gremium aus. Die Wahrscheinlichkeit, dass beide ausgewählten Manager männlich sind, beträgt:
Nach der Auswahl eines männlichen Managers bleiben insgesamt Manager mit männlichen Managern übrig, sodass die Wahrscheinlichkeit, einen zweiten männlichen Manager auszuwählen, auf sinkt.
Der erste Schritt unten ersetzt den ursprünglichen Ergebnisraum durch die Ergebnisse, die übrig bleiben. Die weiteren Schritte zeigen, wie diese Ersetzung eine bedingte Wahrscheinlichkeit von einem unabhängigen Produkt trennt.
Gehe bei Aufgaben zur bedingten Wahrscheinlichkeit so vor:
Bei unabhängigen Ereignissen ändert die Bedingung die nächste Wahrscheinlichkeit nicht. Bei abhängigen Ereignissen ändert das bekannte Ergebnis entweder die günstige Anzahl, die Gesamtanzahl oder beides.
Konkretes Beispiel: Zwei Asse ziehen
Wir berechnen die Wahrscheinlichkeit dafür, aus einem üblichen Kartenspiel nacheinander zwei Asse zu ziehen (, davon Asse). Sei das Ereignis, dass die erste Karte ein Ass ist, und das Ereignis, dass die zweite Karte ein Ass ist.
Unabhängige Ziehungen (mit Zurücklegen):
Nach der ersten Ziehung wird die Karte zurückgelegt und der Stapel neu gemischt:
Abhängige Ziehungen (ohne Zurücklegen):
Die erste Karte wird nicht zurückgelegt:
Ergebnisvergleich:
In diesem Beispiel ist das Ergebnis ohne Zurücklegen kleiner. Nach dem ersten Ass sinkt die Zahl der verbleibenden Asse von auf , während die Gesamtzahl der Karten von auf fällt.
Eine Schachtel enthält und . Zwei Kugeln werden nacheinander ohne Zurücklegen gezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeit für zuerst Rot und danach Blau.
Ein Kartenspiel wird gemischt. Drei Karten werden nacheinander ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für Ass, dann König, dann Dame?
Bearbeite jede Aufgabe selbst, bevor du die ausführliche Lösung liest. Notiere bei jeder Ziehung die Anzahl der günstigen Karten und die neue Gesamtzahl, bevor du multiplizierst.
Aufgabe 1
Sei das Ereignis „erste Kugel rot“ und das Ereignis „zweite Kugel blau“.
Zu Beginn liegen in der Schachtel.
Nach einer roten Kugel bleiben insgesamt ( rote und blaue). Die Zahl der blauen Kugeln bleibt , daher beträgt die Wahrscheinlichkeit für Blau bei der zweiten Ziehung .
Aufgabe 2
Sei das Ereignis „zuerst Ass“, das Ereignis „danach König“ und das Ereignis „zuletzt Dame“.
Das Kartenspiel enthält : Asse, Könige und Damen.
Bei jedem Ziehen sinkt die Gesamtzahl der Karten (→→). Vom jeweils als Nächstes gesuchten Rang sind noch alle Karten vorhanden: Ein gezogenes Ass entfernt keinen König, und ein gezogener König entfernt keine Dame.
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