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Stellen Sie sich vor, Sie ziehen eine Karte aus einem Stapel und danach zieht ein Freund die nächste. Verändert Ihre Karte die Wahrscheinlichkeit seiner möglichen Karten? Ohne Zurücklegen ist das oft der Fall. Mit der bedingten Wahrscheinlichkeit berechnen wir die zweite Wahrscheinlichkeit anhand der Information aus der ersten Ziehung.
Die bedingte Wahrscheinlichkeit von unter der Bedingung fragt: Welcher Anteil der Ergebnisse mit erfüllt zusätzlich ? Ändert sich die Antwort durch , sind die Ereignisse abhängig. Bleibt sie gleich, sind sie unabhängig.
Entscheidend ist, die möglichen Ergebnisse anhand der bereits bekannten Bedingung zu aktualisieren, bevor wir die nächste Wahrscheinlichkeit berechnen.
Für Ereignisse und mit wird die bedingte Wahrscheinlichkeit definiert durch:
dabei gilt:
Durch Neuordnung der Definition erhält man die allgemeine Multiplikationsregel:
Sind die Ereignisse unabhängig, ändert die Information über nichts an der Wahrscheinlichkeit von :
Ein übliches Kartenspiel enthält , darunter und . Zwei Karten werden ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für zuerst ein Ass und danach einen König?
Schritt-für-Schritt-Analyse:
Wir definieren:
Wahrscheinlichkeitsrechnung:
Nachdem ein Ass gezogen wurde, bleiben übrig. Alle sind noch vorhanden, daher beträgt die bedingte Wahrscheinlichkeit, einen König zu ziehen, .
Beim Ziehen zweier Herzkarten verändert sich auch die Anzahl der günstigen Karten:
Die Wahrscheinlichkeit, bei beiden Ziehungen ein Herz zu ziehen, beträgt daher:
Stellen Sie sich ein hypothetisches Unternehmen vor, das die Verteilung der Manager nach Geschlecht und Stellenebene überprüft. Seine Daten haben folgende Zusammensetzung:
| Führungsposition | Männlich | Weiblich | Gesamt |
|---|---|---|---|
| Senior (S) | |||
| Mitte (M) | |||
| Junior (J) | |||
| Gesamt |
Sei das Ereignis, dass eine ausgewählte Führungskraft männlich ist.
Das Unternehmen wählt nach dem Zufallsprinzip zwei ersatzlose Manager für ein Gremium aus. Die Wahrscheinlichkeit, dass beide ausgewählten Manager männlich sind, beträgt:
Nach der Auswahl eines männlichen Managers bleiben insgesamt Manager mit männlichen Managern übrig, sodass die Wahrscheinlichkeit, einen zweiten männlichen Manager auszuwählen, auf sinkt.
So lösen Sie Aufgaben zur bedingten Wahrscheinlichkeit:
Bei unabhängigen Ereignissen ändert die Bedingung die nächste Wahrscheinlichkeit nicht. Bei abhängigen Ereignissen ändert das bekannte Ergebnis entweder die günstige Anzahl, die Gesamtanzahl oder beides.
Konkretes Beispiel: Zwei Asse ziehen
Wir berechnen die Wahrscheinlichkeit dafür, aus einem üblichen Kartenspiel nacheinander zwei Asse zu ziehen (, davon Asse).
Unabhängige Ziehungen (mit Zurücklegen):
Nach der ersten Ziehung wird die Karte zurückgelegt und der Stapel neu gemischt:
Abhängige Ziehungen (ohne Zurücklegen):
Die erste Karte wird nicht zurückgelegt:
Ergebnisvergleich:
In diesem Beispiel ist das Ergebnis ohne Zurücklegen kleiner. Nach dem ersten Ass sinkt die Zahl der verbleibenden Asse von auf , während die Gesamtzahl der Karten von auf fällt.
Eine Schachtel enthält und . Zwei Kugeln werden nacheinander ohne Zurücklegen gezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeit für zuerst Rot und danach Blau.
Ein Kartenspiel wird gemischt. Drei Karten werden nacheinander ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für Ass, dann König, dann Dame?
Bearbeiten Sie jede Aufgabe selbst, bevor Sie die ausführliche Lösung lesen. Notieren Sie bei jeder Ziehung die Anzahl der günstigen Karten und die neue Gesamtzahl, bevor Sie multiplizieren.
Lösung:
Sei das Ereignis „erste Kugel rot“ und das Ereignis „zweite Kugel blau“.
Zu Beginn liegen in der Schachtel.
Nach einer roten Kugel bleiben insgesamt ( rote und blaue). Die Zahl der blauen Kugeln bleibt , daher beträgt die Wahrscheinlichkeit für Blau bei der zweiten Ziehung .
Lösung:
Sei das Ereignis „zuerst Ass“, das Ereignis „danach König“ und das Ereignis „zuletzt Dame“.
Das Kartenspiel enthält : Asse, Könige und Damen.
Bei jedem Ziehen sinkt die Gesamtzahl der Karten (→→). Vom jeweils als Nächstes gesuchten Rang sind noch alle Karten vorhanden: Ein gezogenes Ass entfernt keinen König, und ein gezogener König entfernt keine Dame.
