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Das unterscheidet sie von einer linearen Permutation. In einer Reihe sind der erste und der letzte Platz eindeutig. Im Kreis gibt es keinen ausgezeichneten Startpunkt.
Jedes Objekt kann daher als Bezugspunkt dienen. Lineare Reihenfolgen, die sich nur durch eine Drehung unterscheiden, beschreiben dieselbe Anordnung im Kreis.
Für verschiedene Objekte gilt:
Dabei gilt:
Warum ist die Formel ?
Eine gemeinsame Drehung aller Objekte erzeugt keine neue Anordnung. Das lässt sich an einem runden Tisch leicht erkennen.
Angenommen, Kinder, , und , sitzen um einen runden Tisch. Die Reihenfolgen , und sind dieselbe Anordnung, denn sie gehen durch Drehung ineinander über und ihre relativen Positionen bleiben gleich.
Die Tabelle gruppiert alle sechs linearen Reihenfolgen. Lies jede Reihenfolge im Uhrzeigersinn. Eine Drehung bleibt in derselben Zeile, eine Spiegelung wechselt die Zeile.
| Kreisanordnung | Gleichwertige lineare Reihenfolgen |
|---|---|
| 1 | ABC, BCA, CAB |
| 2 | ACB, CBA, BAC |
So entsteht die Formel:
Für Kinder ergibt sich .
Die Formel fasst gedrehte Anordnungen zusammen, zählt Spiegelbilder aber weiterhin getrennt. Das passt zu Personen, die zur Tischmitte schauen, denn eine gespiegelte Reihenfolge vertauscht die linken und rechten Nachbarn. Ein Armband lässt sich dagegen umdrehen. Bei verschiedenen Perlen bildet jede Kreisreihenfolge mit einem anderen Spiegelbild ein Paar. Daher bleiben Anordnungen.
Dieselbe Formel zählt kreisförmige Sitzordnungen und andere Formationen um einen Mittelpunkt. Halte eine Person als Bezugspunkt fest und zähle die Reihenfolge der übrigen Personen relativ zu ihr. Bei festen Paaren werden stattdessen die Paare als Einheiten angeordnet.
Fünf Lernende sitzen für eine Diskussion an einem runden Tisch. Die Anzahl der Sitzordnungen beträgt:
Acht Kinder stellen sich für ein Spiel im Kreis auf. Die Anzahl der verschiedenen Formationen ist:
Bei Zusatzbedingungen, etwa wenn bestimmte Objekte nebeneinanderliegen müssen, hilft die Blockmethode:
Beispiel: Ehepaare sitzen im Kreis, wobei die beiden Personen jedes Paares nebeneinandersitzen müssen.
Lösungsstrategie:
Die vier Aufgaben vergleichen einen einfachen Kreis, ein Armband mit gleichwertigen Spiegelbildern, Paare mit benachbarten Plätzen und zwei Personen ohne benachbarte Plätze. Wähle vor dem Rechnen die passende Formel.
Es gibt Freunde, die am Lagerfeuer sitzen. Auf wie viele Arten können sie sitzen?
Aus Perlen in verschiedenen Farben wird ein Armband gefertigt. Wenn Drehungen und umgedrehte Spiegelbilder als dasselbe Armband gelten, wie viele Anordnungen sind dann möglich?
Ehepaare sitzen an einem runden Tisch. Die beiden Personen jedes Paares sollen nebeneinandersitzen. Wie viele Sitzordnungen sind möglich?
Lernende stellen sich im Kreis auf. Zwei bestimmte Personen dürfen nicht nebeneinanderstehen. Wie viele Anordnungen sind möglich?
Aufgabe 1
Rechenweg:
Gegeben: Formel der Kreispermutation:
Die können also in verschiedenen Sitzordnungen am Lagerfeuer sitzen.
Aufgabe 2
Rechenweg:
Zunächst zählen gedrehte Anordnungen als gleich:
Durch Umdrehen des Armbands wird jede Reihenfolge im Uhrzeigersinn mit ihrem Spiegelbild gegen den Uhrzeigersinn identisch. Da alle Perlen verschieden sind, bilden diese Anordnungen Paare. Deshalb teilen wir durch .
Es gibt verschiedene Armbänder.
Aufgabe 3
Rechenweg:
Gegeben: Ehepaare, also . Jedes Paar soll zusammensitzen. Blockmethode: Jedes Paar bildet einen Block: .
Kreispermutation der : . Innerhalb jedes Paares sind möglich.
Gesamt:
Damit erfüllen Sitzordnungen die Bedingung.
Aufgabe 4
Rechenweg mit der Komplementmethode:
Ohne Einschränkung gibt es Anordnungen. Für die unerwünschten Fälle fassen wir die zu einem Block zusammen.
Damit liegen Blöcke im Kreis. Sie lassen sich auf Arten anordnen. Die im Block können ihre Plätze tauschen. Das ergibt innere Anordnungen.
Gesamtzahl benachbarter Anordnungen: Gesuchte Anordnungen:
Somit gibt es , bei denen die beiden Lernenden nicht nebeneinanderstehen.
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