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In manchen Wahrscheinlichkeitsmodellen gilt: Die Kenntnis eines Ergebnisses verändert die Wahrscheinlichkeit eines anderen nicht. Wirf eine faire Münze und einen fairen Würfel. Das Ergebnis der Münze liefert keine Information über das Würfelergebnis. Die beiden Ereignisse sind unabhängig.
Die Ereignisse und sind , wenn die Wahrscheinlichkeit des jeweils anderen unverändert bleibt, sobald wir eines als Bedingung voraussetzen. Unabhängigkeit ist eine Eigenschaft des Wahrscheinlichkeitsmodells. Gleichzeitig stattfindende Ereignisse sind nicht automatisch unabhängig.
unabhängig
Diese Unterscheidung ist wichtig, weil zwei Ereignisse eine verborgene gemeinsame Ursache haben können. Zwei Alarme steuern einander vielleicht nicht direkt, reagieren aber möglicherweise auf denselben Vorfall. Nimm Unabhängigkeit daher nur an, wenn sie aus dem Modell folgt oder ausdrücklich gegeben ist.
Das Hauptmerkmal unabhängiger Ereignisse lautet: Das Ergebnis eines Ereignisses verändert die Wahrscheinlichkeit des anderen nicht. Sind A und B unabhängig und gilt P(B)>0, dann folgt:
Dies bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, dass A auftritt, wenn B bereits aufgetreten ist, genauso groß ist wie die Wahrscheinlichkeit, dass A im Allgemeinen auftritt.
Beispiele mit einem klar unabhängigen Mechanismus sind:
- zwei getrennte faire Münzwürfe
- je eine Karte aus zwei unabhängig gemischten Stapeln
- zwei getrennte faire Würfel
- zwei Zufallszahlen aus unabhängigen Versuchen
Frage zur Prüfung: „Verändert die Kenntnis des ersten Ergebnisses die Wahrscheinlichkeitsverteilung des zweiten?“ Eine bloße Ursache-Wirkungs-Geschichte reicht nicht. Nutze das angegebene Modell oder vergleiche bedingte und gewöhnliche Wahrscheinlichkeit.
Da unabhängige Ereignisse sich nicht gegenseitig beeinflussen, wird die Berechnung ihrer gemeinsamen Wahrscheinlichkeit einfach. Die Grundformel für die Wahrscheinlichkeit unabhängiger Ereignisse lautet:
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass A und B gemeinsam eintreten, ist also das Produkt ihrer Einzelwahrscheinlichkeiten.
Bei unabhängigen Ereignissen stimmt die bedingte Wahrscheinlichkeit mit der gewöhnlichen Wahrscheinlichkeit überein. Aus P(A∣B)=P(A) folgt:
Aus diesem Grund können wir einzelne Wahrscheinlichkeiten direkt multiplizieren, um die gemeinsame Wahrscheinlichkeit zu erhalten.
Ein roter und ein weißer Würfel werden geworfen. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der rote Würfel 2 und der weiße 5 zeigt.
- Ereignis A: Der rote Würfel zeigt 2
- Ereignis B: Der weiße Würfel zeigt 5
Beide Ereignisse sind unabhängig, da das Ergebnis des roten Würfels keinen Einfluss auf das Ergebnis des weißen Würfels hat.
Die Wahrscheinlichkeit, die Zahl 2 auf dem roten Würfel und die Zahl 5 auf dem weißen Würfel zu bekommen, beträgt also 361.
Ein Würfel und eine Münze werden geworfen. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für eine gerade Würfelzahl und die Zahlseite der Münze.
- Ereignis A: Die gerade Würfelzahl liegt in {2,4,6}
- Ereignis B: Die Zahlseite der Münze wird durch 1 dargestellt, also {1}
Beide Ereignisse sind unabhängig, da das Ergebnis des Würfels keinen Einfluss auf das Ergebnis der Münze hat.
Zwei unabhängig versorgte Überwachungssensoren führen täglich einen Selbsttest durch. Sensor A besteht ihn mit Wahrscheinlichkeit 0,98, Sensor B mit Wahrscheinlichkeit 0,92. Wie groß ist im angegebenen Unabhängigkeitsmodell die Wahrscheinlichkeit, dass beide Tests erfolgreich sind?
Die Unabhängigkeitsannahme ist Teil dieses Modells. Wenn beide Sensoren eine gemeinsame Stromversorgung oder ein gemeinsames Netzwerk hätten, müssten wir diese Annahme erneut testen.
- Ereignis A: Der erste Sensor besteht seinen Selbsttest
- Ereignis B: Der zweite Sensor besteht seinen Selbsttest
Das Problem besagt, dass die beiden Selbsttests unabhängig sind, sodass ein Ergebnis die Wahrscheinlichkeit des anderen nicht ändert.
Die Wahrscheinlichkeit, dass beide Sensoren bestehen, beträgt somit 0,9016 oder 90,16%.
Bei Aufgaben mit unabhängigen Ereignissen gehen Sie so vor:
- Benenne die Ereignisse im Problem
- Prüfe ihre Unabhängigkeit anhand des Modells oder der bedingten Wahrscheinlichkeiten
- Berechne die Einzelwahrscheinlichkeiten
- Wende die Formel an P(A∩B)=P(A)×P(B)
- Prüfe das Ergebnis im Kontext der Aufgabe
Einige nützliche Strategien:
- Visualisiere Ereignisse bei Bedarf mit einem Baumdiagramm
- Prüfe die Unabhängigkeit am Modell oder an bedingten Wahrscheinlichkeiten, nicht allein am Zeitpunkt
- Kontrolliere das Ergebnis mit einem zweiten Ansatz, wenn einer verfügbar ist
- Deute das Ergebnis im Kontext der Aufgabe
Achten Sie auf die folgenden Merkmale, um unabhängige Ereignisse zu identifizieren:
Unabhängig unter dem angegebenen Modell:
- getrennte Würfe mit fairen Münzen
- Kartenziehen mit Zurücklegen und erneutem Mischen
- Würfe mit separaten fairen Würfeln
- unabhängige Zufallsversuche
Situationen, in denen Unabhängigkeit nicht vorausgesetzt werden darf:
- Kartenziehen ohne Zurücklegen
- Körpergröße und Gewicht einer Person, sofern Modell oder Daten keine Unabhängigkeit belegen
- Testergebnisse derselben Person in verschiedenen Fächern, sofern keine Unabhängigkeit nachgewiesen ist
- Lufttemperatur und Luftfeuchtigkeit, sofern keine Unabhängigkeit für das betrachtete Modell nachgewiesen ist
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Zwei faire Münzen werden unabhängig voneinander geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit für Kopf bei der ersten und Zahl bei der zweiten Münze.
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Ein fairer Würfel wird unabhängig vom Ziehen einer Karte aus einem gemischten Standardkartenspiel geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit für eine Primzahl auf dem Würfel und eine rote Karte.
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In einer Klasse beträgt die Wahrscheinlichkeit für das Bestehen in Mathematik 0,85 und in Physik 0,78. Das Modell nimmt Unabhängigkeit an. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beide Fächer zu bestehen?
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Drei faire Münzen werden unabhängig voneinander geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit für genau zweimal Zahl.
Bearbeiten Sie jede Aufgabe selbst, bevor Sie die ausführliche Lösung lesen. Begründen Sie die Unabhängigkeit, bevor Sie Wahrscheinlichkeiten multiplizieren.
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Lösung:
- Ereignis A: Kopf bei der ersten Münze, P(A)=21
- Ereignis B: Zahl bei der zweiten Münze, P(B)=21
Beide Ereignisse sind unabhängig, da das Ergebnis der ersten Münze keinen Einfluss auf die zweite Münze hat.
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Lösung:
- Ereignis A: Primzahl auf dem Würfel ist {2,3,5}, also P(A)=63=21
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Lösung:
- Ereignis A: Mathematik bestanden, P(A)=0,85
- Ereignis B: Physik bestanden, P(B)=0,78
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Lösung:
Methode 1: Direkte Aufzählung
Verwende 0 für Kopf und 1 für Zahl. Der Ergebnisraum für 3 Münzen lautet {000,001,010,011,100,101,110,111} und enthält Ergebnisse.
Ereignis B: Rote Karte (Herzen und Karo), also P(B)=5226=21 Beide Ereignisse sind unabhängig.
Da beide Fächer unabhängig sind:
Die Wahrscheinlichkeit, beide Fächer zu bestehen, beträgt 0,663 oder 66,3%.
Genau zweimal Zahl tritt in {011,101,110} auf. Es gibt also 3 günstige Ergebnisse.
Methode 2: Binomialverteilung verwenden
Für n=3 Würfe mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p=21 für Zahl berechnen wir genau k=2 Erfolge:
Schritt-für-Schritt-Erklärung:
- (23)=3 (Auswahl der 2 Positionen für Zahl unter 3 Würfen)
- (21)2=41 (Wahrscheinlichkeit für 2 Zahlseiten)
- (21)1=21 (Wahrscheinlichkeit für Kopfseite)
Die Berechnung lautet also:
Die Wahrscheinlichkeit für genau zweimal Zahl beträgt somit 83.
