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Die Ereignisse und sind unabhängig, wenn die Wahrscheinlichkeit des jeweils anderen unverändert bleibt, sobald wir eines als Bedingung voraussetzen. Unabhängigkeit ist eine Eigenschaft des Wahrscheinlichkeitsmodells. Gleichzeitig stattfindende Ereignisse sind nicht automatisch unabhängig.
Zwei Ereignisse können eine gemeinsame Ursache haben, obwohl keines das andere direkt steuert. Zwei Alarme können zum Beispiel auf denselben Vorfall reagieren. Nimm Unabhängigkeit nur an, wenn sie im Wahrscheinlichkeitsmodell vorgegeben ist oder sich aus den bedingten Wahrscheinlichkeiten ergibt.
Bei unabhängigen Ereignissen ändert die Information über ein Ereignis die Wahrscheinlichkeit nicht, mit der das andere eintritt. Die Ereignisse können aus demselben oder aus getrennten Versuchen stammen. Entscheidend sind ihre Wahrscheinlichkeiten, nicht die Anzahl der Versuche.
Das Hauptmerkmal unabhängiger Ereignisse lautet: Das Ergebnis eines Ereignisses verändert die Wahrscheinlichkeit des anderen nicht. Sind und unabhängig und gilt , dann folgt:
Dies bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, dass auftritt, wenn bereits aufgetreten ist, genauso groß ist wie die Wahrscheinlichkeit, dass im Allgemeinen auftritt.
Beispiele mit einem klar unabhängigen Mechanismus sind:
Frage zur Prüfung: „Verändert die Kenntnis des ersten Ergebnisses die Wahrscheinlichkeitsverteilung des zweiten?“ Eine vermutete Ursache-Wirkungs-Beziehung allein reicht nicht aus. Nutze das angegebene Modell oder vergleiche die bedingte mit der gewöhnlichen Wahrscheinlichkeit.
Als Beispiel aus einem einzigen fairen Würfelwurf betrachten wir und . Die Tabelle zeigt die Zugehörigkeit aller sechs Ergebnisse.
| Ergebnis | Gehört zu A | Gehört zu B |
|---|---|---|
| 1 | Nein | Nein |
| 2 | Ja | Nein |
| 3 | Nein | Ja |
| 4 | Ja | Nein |
| 5 | Nein | Nein |
| 6 | Ja | Ja |
Die Ereignisse sind unabhängig, obwohl sie aus einem Wurf stammen und die Schnittmenge haben.
Da unabhängige Ereignisse sich nicht gegenseitig beeinflussen, wird die Berechnung ihrer gemeinsamen Wahrscheinlichkeit einfach. Die Grundformel für die Wahrscheinlichkeit unabhängiger Ereignisse lautet:
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass und gemeinsam eintreten, ist also das Produkt ihrer Einzelwahrscheinlichkeiten.
Bei unabhängigen Ereignissen stimmt die bedingte Wahrscheinlichkeit mit der gewöhnlichen Wahrscheinlichkeit überein. Wegen lautet die Multiplikationsregel:
Setzen wir in die Multiplikationsregel ein, erhalten wir .
Jede Rechnung unten multipliziert die Wahrscheinlichkeiten zweier unabhängiger Ereignisse. Die Beispiele gehen von zwei Würfeln über einen Würfel und eine Münze bis zu zwei Sensortests.
Ein roter und ein weißer fairer Würfel werden unabhängig voneinander geworfen. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der rote Würfel und der weiße zeigt.
Lösung:
Beide Ereignisse sind unabhängig, da das Ergebnis des roten Würfels keinen Einfluss auf das Ergebnis des weißen Würfels hat.
Die Wahrscheinlichkeit, die Zahl auf dem roten Würfel und die Zahl auf dem weißen Würfel zu bekommen, beträgt also .
Ein fairer Würfel und eine faire Münze werden unabhängig voneinander geworfen. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für eine gerade Würfelzahl und die Zahlseite der Münze.
Lösung:
Beide Ereignisse sind unabhängig, da das Ergebnis des Würfels keinen Einfluss auf das Ergebnis der Münze hat.
Zwei unabhängig versorgte Überwachungssensoren führen täglich einen Selbsttest durch. Sensor besteht ihn mit Wahrscheinlichkeit , Sensor mit Wahrscheinlichkeit . Wie groß ist im angegebenen Unabhängigkeitsmodell die Wahrscheinlichkeit, dass beide Tests erfolgreich sind?
Die Unabhängigkeitsannahme ist Teil dieses Modells. Wenn beide Sensoren eine gemeinsame Stromversorgung oder ein gemeinsames Netzwerk hätten, müssten wir diese Annahme erneut testen.
Lösung:
Das Problem besagt, dass die beiden Selbsttests unabhängig sind, sodass ein Ergebnis die Wahrscheinlichkeit des anderen nicht ändert.
Detaillierte Berechnung:
Die Wahrscheinlichkeit, dass beide Sensoren bestehen, beträgt somit oder .
Die Multiplikation kann ein falsches Ergebnis liefern, wenn die Unabhängigkeit ungeprüft bleibt. Die Schritte unten stellen diese Prüfung an den Anfang und kontrollieren am Ende das Ergebnis.
Bei Aufgaben mit unabhängigen Ereignissen gehst du so vor:
Die Wahrscheinlichkeit, dass beide Ereignisse eintreten, darf keine der beiden Einzelwahrscheinlichkeiten übersteigen. Die Schnittmenge enthält nur Ergebnisse, die bereits zu jedem Ereignis gehören.
Beim Sensorbeispiel gilt , die Schranke ist also erfüllt. Sie beweist keine Unabhängigkeit. Diese muss weiterhin aus dem Modell oder der Gleichheit bedingter Wahrscheinlichkeiten folgen.
Prüfe die folgenden Merkmale, um unabhängige Ereignisse zu erkennen:
Unabhängig unter dem angegebenen Modell:
Situationen, in denen Unabhängigkeit nicht vorausgesetzt werden darf:
Zwei faire Münzen werden unabhängig voneinander geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit für Kopf bei der ersten und Zahl bei der zweiten Münze.
Ein fairer Würfel wird unabhängig vom Ziehen einer Karte aus einem gemischten Standardkartenspiel geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit für eine Primzahl auf dem Würfel und eine rote Karte.
In einer Klasse beträgt die Wahrscheinlichkeit für das Bestehen in Mathematik und in Physik . Das Modell nimmt Unabhängigkeit an. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beide Fächer zu bestehen?
Drei faire Münzen werden unabhängig voneinander geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit für genau zweimal Zahl.
Bearbeite jede Aufgabe selbst, bevor du die ausführliche Lösung liest. Begründe die Unabhängigkeit, bevor du Wahrscheinlichkeiten multiplizierst.
Aufgabe 1
Beide Ereignisse sind unabhängig, da das Ergebnis der ersten Münze keinen Einfluss auf die zweite Münze hat.
Aufgabe 2
Beide Ereignisse sind unabhängig.
Aufgabe 3
Da beide Fächer unabhängig sind:
Die Wahrscheinlichkeit, beide Fächer zu bestehen, beträgt oder .
Aufgabe 4
Methode 1: Direkte Aufzählung
Verwende für Kopf und für Zahl. Der Ergebnisraum für Münzen enthält Ergebnisse:
Genau zweimal Zahl tritt in auf. Es gibt also günstige Ergebnisse.
Methode 2: Binomialverteilung verwenden
Für Würfe mit der Erfolgswahrscheinlichkeit für Zahl berechnen wir genau Erfolge:
Werte ersetzen:
Schritt-für-Schritt-Erklärung:
Die Berechnung lautet also:
Die Wahrscheinlichkeit für genau zweimal Zahl beträgt somit .
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