Komplexe Zahlen verstehen

Die Notwendigkeit komplexer Zahlen

Betrachte die quadratische Gleichung $x^2 - 1 = 0$. Durch Faktorisieren erhält man $(x-1)(x+1) = 0$. Ihre beiden Lösungen $x=1$ und $x=-1$ sind reelle Zahlen.

Bei $x^2 + 1 = 0$ ist das anders. Die Gleichung verlangt $x^2 = -1$, doch das Quadrat jeder reellen Zahl ist nichtnegativ. Deshalb besitzt sie keine reelle Lösung.

Die komplexen Zahlen erweitern das reelle Zahlensystem, sodass auch solche Gleichungen lösbar werden.

Imaginäre Zahlen

Die imaginäre Einheit wird mit $i$ bezeichnet. Ihre Definition lautet:

Mit der Konvention der Hauptwurzel schreibt man diese Beziehung auch als

Für eine nichtnegative reelle Zahl $a$ ist die Hauptwurzel von $-a$ gleich $i\sqrt{a}$. Zum Beispiel:

Zahlen wie $2i$ und $3i$ werden rein imaginäre Zahlen genannt.

Die Hauptwurzel ist ein einzelner Wert. Eine quadratische Gleichung kann dagegen zwei Lösungen haben. Beide folgenden Zahlen erfüllen die ursprüngliche Gleichung:

Allgemeine Form

Komplexe Zahlen werden im Allgemeinen in der Form $z = a + bi$ geschrieben, wobei:

• $a=\operatorname{Re}(z)$ ist der Realteil.
• $b=\operatorname{Im}(z)$ ist der Imaginärteil.
• $i$ ist die imaginäre Einheit ($\sqrt{-1}$ ).

Sowohl $a$ als auch $b$ sind reelle Zahlen. Der Ausdruck $bi$ ist der imaginäre Term, sein Koeffizient $b$ ist der Imaginärteil.

Realteil und Imaginärteil bestimmen

Lies den Koeffizienten der imaginären Einheit ab, nicht den gesamten imaginären Term. Der Imaginärteil von fünf minus vier mal der imaginären Einheit ist somit minus vier, nicht minus vier mal der imaginären Einheit.

Übung

Bestimme den Real- und Imaginärteil der folgenden komplexen Zahlen. Drei dieser Ausdrücke verbergen ihren Wert in einer Wurzel oder einer Potenz von $i$, deshalb vereinfachst du jeden Ausdruck zuerst und benennst erst danach die beiden Teile.

1. $2 + \sqrt{(-2)^2}$
2. $2 + i^2$
3. $1 + \sqrt{-9}$
4. $1 + 2i$

Ausführliche Lösungen

Vereinfache zuerst und lies dann beide Teile aus der Standardform ab. Die Hauptwurzel einer positiven Zahl ist nichtnegativ. Deshalb ist die Wurzel aus dem Quadrat von minus zwei gleich zwei, nicht minus zwei.